函数值域最值问题有答案.docVIP

龙游中学高二数学竞赛辅导1----函数值域问题 一、基本函数的值域： 1、一次函数的定义域为R，值域为R； 2、二次函数y=ax2+bx=c (a不为0)的最值： ① a0，当x=时，； ② a0，当x=时， 3、反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为； 4、指数函数的定义域为R，值域为［0 ，＋∞）； 5、对数函数的定义域为［0 ，＋∞），值域为R； 6、函数y=sinx、y=cosx的值域是 ； 函数的值域为R。的图象和性质： （1）定义域：（2）值域：（3）单调性：单调区间为（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点（5）奇偶性：当时为奇函数。（6）图象：如图所示。 2、对号函数的图象和性质：1°对号函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间上是增函数；在区间上是减函数（5）渐近线：以轴和直线为渐近线（6）图象：如图所示。 2°．函数的图象和性质：（1）定义域：（2）值域：R（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间和上是增函数。（5）渐近线：以轴和直线为渐近线（6）图象：如图所示。 3°．函数的图象（如图所示）和性质（略）： 三、一些常见类型的函数值域1、二次函数的值域问题 .当时，求的最大值和最小值. 【解析】 设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R.，求函数f（x）的最小值. 解：当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3. 当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）min=f（）=. 总之，f（x）min=. 在区间上有最大值2； （2）函数在区间上有最大值7； （3）函数在区间上有最大值3。 解：（1） ①若则符合题意 ②若则均不符题意（舍） ③若则符合题意 ∴综上所述，或 （2） ①若则不符题意（舍） ②若则符合题意 ③若则符合题意 ∴综上所述，或 （3） ①若此时对称轴符合题意 ②若此时对称轴符合题意 ③若此时对称轴不符题意 ∴综上所述，或 例4、（2002年全国）已知a为实数，函数讨论的奇偶性； 求的最小值当时为偶函数当时不具有奇偶性时， ①若，则; ②若，则 （2）当时， ①若，则;； ②若，则 综上所述，当时，；当时，；当时，。 即 2、方程有解法题型 例1、求函数的值域 （法一）反解法： 的反函数为，其定义域为， ∴原函数的值域为。 （法二）分离变量法：， ∵，∴， ∴函数的值域为。 变式1：求函数（）的值域 变式2：求函数的值域的值域； 解：判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。 由得： ① ①当即时，①即，∴ ②当即时，∵时方程恒有实根， ∴△， ∴且， ∴原函数的值域为。 的值域 解：（法一）方程法：原函数可化为：， ∴（其中）， ∴，∴，∴，∴， ∴原函数的值域为。条件下，求的最大值． 解析：设，因，，故 ，则 即 因为 ，故，于是 即 将代入方程得 ，，所以 注意：因仅为方程有实根，的必要条件，因此，必须将代入方程中检验，看等号是否可取． 3、基本不等式法（函数；解：，∵，∴， ∴， 当且仅当时，即时等号成立。∴， ∴原函数的值域为。 ，对于任意x都有 ，求 的最小值. 解：由条件可得 由此可得 ，所以 = = ，令 ，所以 = = 等号当且仅当且 即 ，即，时取得. 例3、求函数 ()的最值． 解析：令，则 又令，则 　　　　　　　　　　　 　即有 所以， 注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等” 例4、( 2007广东文、理)已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围. 解法1:,题意转化为知求的值域,令得转化为勾函数问题.由于 所以， 从而 ， 所以 解法2：若,则,令,不符题意, 故………2分 当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或………6分 解得或 …………………………………………………………………8分 当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分 解得即………………12分 综上,实数的取值范围为. ……………………………………14分 4、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）；换元法（代数换元法）：设，则， ∴原函数可化为，∴， ∴原函数值域为。 注：总结型值域， 变形：或 ；解：三角换元法： ∵，∴设， 则 ∵，∴，∴， ∴， ∴原函数的值域为。 的值域. （形如“”的函数） 解析：法1：解： ∴函数定义域为[3,5] 当时，，当时， ∴ ∴ ∴ 所给 法2： ∴函数定义域为[3,5]，且 故设， 即有 ∵ ∴ 所以 法3：函数定义域为[3,5]，