6.3线性变换解说.pptVIP

* 所以T在基 下的矩阵为 * 例10 已知3维线性空间V上的线性变换T在基　 下的矩阵为 求T (α)在基 下的坐标. 解 因为向量α在基 下的坐标为(1,-2,3)T, 所以T (α)在基 下的坐标为 * 定理6.6 设T1，T2是线性空间V 上的两个线性变换 是V的一组基， A1，A2分别为线性变换 T1，T2在基标 的矩阵，则 (1) T1，T2的和T1+ T2 对应于矩阵的和A1 + A2 ； (2) T1，T2的乘积T1 T2 对应于矩阵的乘积A1 A2 ； (3) T1的的数乘k T1对应于矩阵的的数乘 kA1 ； (4) 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于 逆矩阵. * 解 (1)因为 其余情况类似可证. 故 T1+ T2 对应于矩阵的和A1 + A2 ； * 例11 T为 R3 上的线性变换，向量组 是R3的一组基, 且 求Ｔ在基　 下的矩阵． 解 设 的过渡矩阵．即 * * 所以，T在基 下的矩阵为： 　 * 五. 正交变换 定义6.15 设T是欧氏空间V上的一个线性变换，如果 则称T为V上的正交变换. 即正交变换保持V上的的 内积不变． 定理6.7 如果T为欧氏空间V上的正交变换，则以下 命题等价： (1) T是正交变换； * (2) T保持欧氏空间中向量的长度不变；即对 是V 的标准正交基的充要条件 是它的像 是V的标准正交基； (4) Ｔ在任一标准正交基下的矩阵都为正交矩阵． 证 必要性. 因为 是V 的标准正交基 * 又因为T是V的正交变换，于是 所以 是V的标准正交基； 充分性. 因为 是V的标准正交基 * 所以 T是正交变换； 定理6.8 n维欧氏空间V的线性变换T是正交变换的充要 条件是T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证明略. * 六. 小结与思考题 1. 线性变换的定义与性质 2.线性变换的像集与核 3.线性变换的运算 4. 线性变换的矩阵 5. 正交变换 * 一. 线性变换的定义及性质 二. 线性变换的像集与核 三. 线性变换的运算 四. 线性变换的矩阵 §6.3 线性变换 五. 正交变换 六. 小结与思考题 * 一. 线性变换的定义及性质 定义6.8 设V是一个线性空间, 如果有一个对应关系T, 使得对于V中任一向量α, 都有V的一个确定向量β与之 对应, 则称此对应关系T 为V 的一个变换，称 β为α在 变换T下的像, 记作β ＝T(α) , 称为在变换T 下的原像. 1. 线性变换的定义 定义6.9 设V是数域F上的一个线性空间，T是V上的一个变换，若T 满足： * 例1 在线性空间V上，定义变换O与E： 则称T是V上的一个线性变换. 显然，变换O与E都是V上的线性变换，分别称为 V上的零变换与恒等变换. 例2 在线性空间V上，对 , k为F上的一个数. 定义变换T： 这个变换也是V 上的一个线性变换，称为V 上由数 k 决定的数乘变换. * 在数乘变换下，当 k = 0, 1时分别称为V 上的零变换 与恒等变换. 其中X是n维列向量. 证明：TA是Rn的一个线性变换. 例3 对给定的 n 阶实方阵A，在n维实向量空间Rn上,定义变换TA： 证 因为 * 所以TA是Rn的一个线性变换. 例4 在线性空间[a , b]上, 定义变换J为: 由积分的性质有: * 所以J是[a , b]上的线性变换 . 2. 线性变换的性质 设T是线性空间V上的一个线性变换，则： * 证 (4)因为 线性相关，所以存在不全为 零的数 ，使得 用T作用于上式两边，得 * 因为 不全为零，所以 注 性质（4）的逆命题不一定成立. 即 也可能线性无关. 换句话说，线性空间的线性变换可能将线性无关 的向量组变为线性相关的向量组. * 定义6.10 定理6.4 T是线性空间V上的一个线性变换，则T(V) 与都是V的线性子空间. 二.线性变换的像集与核 设T 是V上的一个线性变换，T 的全体像 组成的集合称为T 的像集或值域，记为T(V)； 所有被T变为零向量的向量组成的集合称为T的核， 用 表示. 即 * 所以, T(V)是V上的非