振动力学第1章 自由振动（参考）.pptVIP

本征方程 本征值 本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。 设其解为 其通解为 阻尼比 (1) 欠阻尼情形 当 ζ 1 时，阻尼系数 ，这时阻尼较小， 称为欠阻尼情形。其两个根为共轭复数，即： 其方程的解为 利用初始条件 求得 或 或 Td A2 A1 衰减振动的周期： 得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系： 相邻两个振幅之比为常数，称为减缩系数 对数减缩系数 （2）过阻尼(?1)情形 （3）临界阻尼(?＝1)情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按指数 衰减。 ?1 ?＝1 x O t 衰减的非往复运动 也是衰减的非往复运动 例题1－8 k m c 如图所示系统。已知 k=2.5kN/m，c=600N·s/m，m=100kg。设将物体从平衡位置压低10mm，然后无初速释放，求此后的运动。 解：系统的固有频率 阻尼比 释放后将作衰减振动，其方程为 其中 待定常数A和θ由初始条件 确定 所以运动为 例题1－9 k m c 某有阻尼系统。自由振动时，测得周期为1.5s，经过四个周期后，振幅衰减了90%，求系统的固有频率。 解：系统的对数减缩率 阻尼比 所以系统的固有频率为 ? 有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由 振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能 量耗散。 ? 单自由度线性系统 自由振动要点 ? 固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度 和等效质量有关。 ? 无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有 频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有 能量的补充或耗散。 ? 结论与讨论 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A——振幅； ?n——固有频率； （?n + ?）——相位； ? ——初相位。 ? 关于运动微分方程 ? 建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知 主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相 似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静 平衡位置作为广义坐标原点。 ? 结论与讨论 ? 结论与讨论 ? 关于运动微分方程 ? 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 ? 拉格朗日方程－对于无阻尼的情形 ? 结论与讨论 ? 关于运动微分方程 ? 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 ? 拉格朗日方程－对于有阻尼的情形 ? 结论与讨论 ? 关于运动微分方程 ? 动量矩定理－对于有一固定轴，并且绕固定轴 转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动 量矩定理更好。 JO－系统绕固定轴 O的转动惯量的代数和； LO－所有外力对固定轴 O之矩的代数和。力矩方向 与广义坐标方向相同时为正，反之为负。 ? 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 ? 结论与讨论 ? 关于运动微分方程 ? 机械能守恒－对于没有能量损耗的保守系统 ? 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 这一方程，可以扩展为广义坐标的形式 物理学基础的扩展 m v 提升重物系统中，钢丝绳横截 面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性 模量E＝200GPa。重物的质量m＝6 000kg，以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。 当重物下降到 l ＝25m 时，钢丝 绳上端突然被卡住。 l 求：（1）重物的振动规律； （2）钢丝绳承受的最大张力。 解：钢丝绳－重物系统可以简化为 弹簧－物块系统, 弹簧的刚度为 例 题 1-1 m k 静平衡位置 O x 设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0， 这时重物的位置为初始平衡位置 ；以重物在铅垂方向的位移x作为 广义坐标，则系统的振动方程为 方程的解为 利用初始条件 求得 m k 静平衡位置 O x m x W FT （2）钢丝绳承受的最大张力。 取重物为研究对象 l 固定端 均质等截面悬臂梁，长度为 l, 弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块。若不计梁的质量。试写出梁－物块系统的运动微分方程。 m EI l 固定端 yst O y 解：考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标 q=y, 坐标原点O设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用yst表示。 例 题 1-2 分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，物块的受力：应用牛顿第二定律