{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：2.2.2向量的减法Word版含答案(经典).docxVIP

2．2　向量的减法明目标、知重点　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算． 1．我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0.2．向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．3．向量减法的平行四边形法则以向量A＝a，A＝b为邻边作平行四边形ABCD，则对角线的向量B＝b－a，D＝a－b.4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作O＝a，O＝b，则B＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[情境导学]　上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题．探究点一　向量的减法思考1　a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？答　与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0.－a的相反向量是a即－(－a)＝a.规定：零向量的相反向量仍是零向量．思考2　我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？答　向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．思考3　向量a加上向量b的相反向量，叫作a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫作向量的减法，对于向量a，b, c，若a＋c＝b，则c等于什么？ 答　a＋c＝b?c＝b－a.小结　(1)－＝；(2)－(－a)＝a；(3)－0＝0；(4)a＋(－a)＝0；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.探究点二　向量减法的法则思考1　由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？答　利用平行四边形法则．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作＝－b，以，为邻边作平行四边形OAEC，则＝a－b.思考2　向量减法的三角形法则是什么？答　当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．思考3　请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？答　利用三角形法则．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.等式成立．移项法则对向量等式适用．例1　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则＝a－b，＝c－d.反思与感悟　根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．跟踪训练1　如图所示，在正五边形ABCDE中，A＝m，B＝n，C＝p，D＝q，E＝r，求作向量m－p＋n－q－r.解　延长AC到Q.使CQ＝AC，则m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝A－C＝A＋C＝A.例2　化简下列式子：(1)－－－；(2)(－)－(－)．解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；(2)(＋＋)－(－－)．解　(1)(－)－(－)＝－＝.(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.探究点三　|a－b|与|a|、|b|之间的关系思考1　若a与b共线，怎样作出a－b?答　①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：＝a，＝b，则＝a－b；②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：＝a，＝b，则＝a－b；③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：＝a，＝b，则＝a－b.思考2　通过上面的作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？答　当a与b不共线时，有：||a|－|b|||a－b||a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.例3　如图，?ABCD中，＝a，＝b，你能用a，b表示向量，吗？解　由向量加法的平行四边形