{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：2.3.2平面向量基本定理Word版含答案(经典).docxVIP

3．2　平面向量基本定理明目标、知重点　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[情境导学]　在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一　平面向量基本定理的提出思考1　如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a.答　通过观察，可得：＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2，＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1.思考2　根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答　若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考3　上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？答　 同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a的表示式不相同．不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1　已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解　∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.反思与感悟　选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何知识．要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1　如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.解　设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝a＋b，①＝＋＝＋＝a＋b，②由①②得解得即＝－c＋d，＝c－d.探究点二　平面向量基本定理的证明及应用(1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系．答　如图所示，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a，过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，有＝λ1，＝λ2，∵＝＋，∴a＝λ1e1＋λ2e2.(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)答　假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示，，.解　＝＝＝(－)＝(a－b)，∴＝＋＝a＋b.∵＝＝.∴＝＋＝＋＝＝(a＋b)，＝－＝a－b.反思与感悟　用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．跟踪训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.解　＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.例3　如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a，b为基底表示.解　设＝ma＋nb (m，n∈R)，则＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b因为A，M，D三点共线，所以＝，即m＋2n＝1.而＝－＝a＋