{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）Word版含答案(经典).docxVIP

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(二)明目标、知重点　1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上单调递减最值在x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1在x＝2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1[情境导学]　周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质，此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将对此作进一步探究．探究点一　正弦、余弦函数的定义域、值域导引　正弦曲线：余弦曲线：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.思考1　观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答　正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2　当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝sinx取得最大值1和最小值－1?答　对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.思考3　当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cosx取得最大值1和最小值－1?答　对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.探究点二　正弦、余弦函数的单调性思考1　观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答　正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域．(1)函数y＝sinx，x∈的图象如图所示：观察图象可知：当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x∈，(k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈，(k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.思考2　观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答　函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得：当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A0)的单调性思考1　怎样确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0)的单调性？答　当ω0时，把ωx＋φ看成一个整体，视为X.若把ωx＋φ代入到y＝sinX的单调增区间，则得到2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的增区间．若把ωx＋φ代入到y＝sinX的单调减区间，则得到2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的减区间．当ω0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间类似可求．思考2　请同学们根据上面介绍的方法，写出函数y＝sin单调递增区间．答　y＝sin＝－sin.令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，k∈Z.∴4kπ＋π≤x≤4kπ＋π，k∈Z.∴函数y＝sin的单调递减区间是，k∈Z，即函数y＝sin的单调递增区间是，k∈Z.例1　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)sin196°与cos156°；(3)cos与cos.解　(1)∵－－－，∴sinsin.(2)sin1