数值分析 第六章 解线性方程组的迭代法解析.ppt

ISCM 2007,Beijing China 数值分析Numerical Analysis 第六章 解线性代数方程组的迭代法 “病态”方程的经验判断 定理6.4.3 当系数矩阵 A 为正定矩阵，高斯-塞德尔迭代收敛。 定理6.4.4 松弛迭代收敛的必要条件是0ω2 定理6.4.6 若A为对称正定矩阵时，则松弛迭代收敛的充要条件是 . §6.3 迭代法的收敛性及误差估计 由定理知，当 时，其值越小，迭代收敛越快，在程序设计中通常用相邻两次迭代 （ε为给定的精度要求）作为控制迭代结束的条件 §6.4 判别收敛的几个常用条件 迭代法收敛的判别条件： 1.Jacobi迭代法（简单迭代法）的收敛判定。 2.Gauss-Seidel迭代法的收敛判定。 3.SOR迭代法的收敛判定。 定理6.4.1 设n阶方阵 为对角占优阵, 则 它是非奇异的。 证: 因A为对角占优阵, 其主对角元素的绝对值大 于同行其它元素绝对值之和, 且主对角元素 全不为0, 故对角阵 为非奇异。 作矩阵 §6.4 判别收敛的几个常用条件 利用对角占优知 知 非奇异,从而A非奇异,证毕 系数矩阵为对角占优阵的线性方程组称作对角 占优方程组。 §6.4 判别收敛的几个常用条件 定理6.4.2 对角占优线性方程组 的雅可比 迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。 证: 雅可比迭代公式的迭代矩阵为 由定理6.4.1知, 这时 , 再由 定理6.3.2知迭代收敛 . 再考察高斯-赛德尔迭代公式的迭代矩阵 §6.4 判别收敛的几个常用条件 令 ，则有 即 写出分量形式有 设 而 由上式得 §6.4 判别收敛的几个常用条件 由此整理得 利用对角占优条件知上式右端小于1,(如果右端大于1, 则得出与对角占优条件矛盾的结果)故有 据定理6.3.2知G-S法收敛 §6.4 判别收敛的几个常用条件 定理 6.4.5 (松弛法收敛的充分条件)  如果系数矩阵A为严格对角占优，当松弛因子  时， 松弛迭代法收敛。 §6.4 判别收敛的几个常用条件 若 ,分离出变量 §6.2 几种常用的迭代格式 （Jacobi迭代公式） (k=0,1,2,…) §6.2 几种常用的迭代格式 （Jacobi迭代公式） 据此建立迭代公式 上式称为解方程组的Jacobi迭代公式。 也称为 简单迭代法。 雅可比迭代法的矩阵表示 设方程组 的系数矩阵A非奇异，且主对 角元素 ，则可将A分裂成 记作 A = L + D + U 则 等价于 因为 ，则 这样便得到一个迭代公式 §6.2 几种常用的迭代格式 （Jacobi迭代公式） 其中 令 则有 （k = 0,1,2…） 称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵 §6.2 几种常用的迭代格式 （Jacobi迭代公式） 雅可比迭代法的算法实现 §6.2 几种常用的迭代格式 （Jacobi迭代公式） function X=jacobi(A,B,P,delta,max) %求解AX=B，A是非奇N阶方阵dleta是误差界，max是最大迭代次数 N=length(B); for t=1:max for k=1:N X(k)=(B(k)-A(k,[1:k-1,k+1:N])*P([1:k-1,k+1:N]))/A(k,k); end err=abs(norm(X-P)); if(errdelta) break; end end X=X; §6.2 几种常用的迭代格式 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前必威体育精装版的迭代值，即在求 时用新分量