数值分析 第2章 插值法解析.pptVIP

h0(x) 有根 x1, x2，且 ? x1 是重根。 又: h0(x0) = 1 ? C0 h2(x) 与h0(x) 完全类似。 h1(x) 有根 x0, x2 ? 由余下条件 h1(x1) = 1 和 可解。 (x) ? h1 有根 x0, x1, x2 又: ? C1 可解。 与 Lagrange 分析完全类似 ? 解:设 hi(x) 有根 x0 , …, xi , …, xn且都是2重根 ? ? 一般地，已知 x0 , …, xn 处有 y0 , …, yn 和 ，求 H2n+1(x),满足 。 其中 由余下条件 和 可解Ai 和 Bi ? (x) ? hi 有根 x0 , …, xn, 除了xi 外都是2重根 ? 设 则 EXE 给定 试求f(x)在 [1/4,9/4]上的三次Hermit插值多项式P(x),使它满足 并写出余项表达式. Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 h2(x)的图像？ ? x 0 - - 1 0.5 1 2 3 4 5 6 y x y 0 - - - 1 0.5 1 2 3 4 5 6 斜率=1 ? ? 求Hermite多项式的基本步骤： ? 写出相应于条件的hi(x)、 hi(x) 的组合形式； ? ? 对每一个hi(x)、 hi(x) 找出尽可能多的条件给出的根； ? ? 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； ? 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； ? 最后完整写出H(x)。 §2.6 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ ?多项式插值的龙格现象 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x) ? f (x) ? n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 ?分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): 记 ，易证：当 时， 一致 失去了原函数的光滑性。 ?分段Hermite插值 /* Hermite piecewise polynomials */ 给定 在 上利用两点的 y 及 y’ 构造3次Hermite函数 导数一般不易得到。 §2.7 三次样条插值 /* Cubic Spline */ 样条(spline),是早期飞机、造船工业中绘图员用来画光滑曲线的细木条或细金属丝.绘图时,为了将一些已知的点连成光滑曲线,绘图员用压铁把样条固定在相邻的若干点上,样条具有弹性,形成通过这些点的光滑曲线,沿着它就可画出所需的曲线.数学上仿此得出的函数便称为样条函数. 样条插值是用分段低次多项式去逼近被逼近函数,并且能够满足对光滑性的要求,又无需给出每个节点处的导数值.它除了要求给出各点处的函数值之外,只需提供两个边界节点处的导数信息. ?引入 要求：插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低， 这种插值方法称为——样条插值。 它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点， 把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数， 而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数， 定义 　　　设 。三次样条函数 , 且在每个 上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同时还满足 ，则称 为 f 的三次样条插值函数 /* cubic spline interpolant */. 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道