数值分析第7次课解析.pptVIP

余项表达式 解2 用插值基函数方法 上机作业 Page175 数值实验 第1题. 第六章 函数逼近 §1 数据拟合的最小二乘法 §2 正交多项式 ? Lagrange插值与最小二乘逼近的图像描述 ? 方法1: 用3次Lagrange插值多项式近似x, y的函数关系. ? 为什么要用最小二乘逼近. xi yi 2 4 6 8 1.1 2.8 4.9 7.2 例 给定一组实验数据如下 求x, y的函数关系. ? 方法2: 用直线来近似x, y的函数关系. ? ? 用直线 y=a0+a1x 来反映x, y之间的函数关系. 如何选取a0, a1? 才能使直线最好地反映数据点的基本趋势? ? 残差向量 ? 残差 ? 衡量近似函数好坏的标准：残差向量的大小 (1) 使残差的绝对值之和最小, 即 (2) 使残差的最大绝对值最小, 即 (3) 使残差的平方和最小, 即 最佳平方逼近或数据拟合的最小二乘法 最佳一致逼近 问题: 给定n个数据点 (xi , yi ) (i=1, 2, …, n) 求直线 y=a0+a1x 使得 达到最小. ? 最小二乘一次多项式拟合 §1 数据拟合的最小二乘法 ? 令 则原问题等价于求a0, a1使F(a0, a1)达到最小. 利用多元函数取极值的必要条件得 正则方程组 ? 由上式求得a0, a1, 代入 y=a0+a1x 得到最小二乘拟合(直线)一次多项式. xi yi 2 4 6 8 1.1 2.8 4.9 7.2 例 给定一组实验数据如下 求x, y的函数关系. 解 正则方程组 直线拟合误差很大 抛物线拟合效果更好 问题: 给定n个数据点 (xi , yi ) (i=1, 2, …, n) 求 使得 达到最小. ? 最小二乘二次多项式拟合 ? 令 则原问题等价于求a0, a1 , a2, 使F(a0, a1 , a2 )达到最小. 利用多元函数取极值的必要条件得 ? 用 Cholesky分解法求此对称正定阵 ? 用 MATLAB 函数 z = A\r ? 由上式求得a0, a1, a2, 得到最小二乘拟合二次多项式 正则方程组 ? 最小二乘三次多项式拟合 正则方程组 ? 最小二乘m次多项式拟合 (mn) 正则方程组 ? 指数拟合 如果数据点(xi , yi ) (i=1, 2, …, n)的分布近似指数曲线, 则可考虑用指数函数 去拟合数据. 但是这是一个关于a, b的非线性模型, 故应通过适当变换, 将其化为线性模型, 然后利用最小二乘法求解. 为此, 对指数函数两端取对数, 得 则数据组(xi , yi ) (i=1, 2, …, n)的最小二乘拟合指数曲线为 这表明(xi , lnyi ) (i=1, 2, …, n)的分布近似于直线, 求出此数据组的最小二乘拟合直线 xi yi 例 给定一组实验数据如下 求x, y的函数关系. 1 2 3 4 6 7 8 2 3 6 7 5 3 2 (1) 作散点分布图 点的分布近似为抛物线 ? (2)确定近似表达式 设拟合曲线为二次多项式 ? (3) 建立正则方程组 故正则方程组为 ? (4) 求解正则方程组得 故所求拟合曲线为 * §3 分段线性插值 ? 高次插值多项式的缺陷：Runge现象 ? 用Lagrange插值多项式 Ln(x)近似 f (x), 是否插值节点个数n越多, 其逼近精度越高呢? ? 回答是否定的！ ? 20世纪初Runge给出了一个非常著名的例子 采用等距节点插值. Runge 函数 Runge 函数 ? 如图所示, Lagrange插值多项式L10(x)仅在区间中部能较好地逼近 f (x), 在其他部位差异较大, 而且越接近区间端点, 逼近效果越差. ? 可以证明当节点个数n趋于无穷时, 存在一个常数c, c?0.726, 使得当|x|?c时, Ln(x)? f (x) (n??), 而当|x|c时{Ln(x)}发散. 这一现象称为Runge现象. ? 它表明用高次插值多项式Ln(x)近似f (x)效果不见得好, 因而通常不用高次插值, 而用分段低次插值. ? 常用分段低次插值: 分段线性插值, 分段三次Hermite插值, 三次样条插值. ? 分段线性插值定义 定义 已知函数 y=f (x)在区间[a, b]上的 (n+1)个节点 上的函数值 yi=f (xi) (i=0,1,…,n), 求插值函数 ?(x),