数值分析第3次课解析.ppt

上机练习 第61页至62页任选一题. ? 解正定线性方程组的改进平方根法或LDLT分解法. 先求 Ly=b, 得 y, 再求 LTx=D?1y, 得 x. 改进平方根法或LDLT分解法 ? 设A为对称正定阵 ? 平方根法与改进的平方根法的优点 ? 计算无须选主元, 由于正定性, 计算过程是数值稳定的 ? 计算量是Gauss消元法的一半 ? 由于对称性, 实际计算可存储一半 ? 是求解中小型稠密正定线性方程组的好算法 §2.4 误差分析 ? 用直接法解线性方程组, 初始数据会有误差, 计算过程同样会产生误差, 这就需要对这些误差作一些分析. ? 主要数学工具: 向量范数, 矩阵范数, 条件数 ? 向量范数 ? 向量范数是用来度量向量长度的, 它可以看成是二、三维解析几何中向量长度概念的推广. 定义(向量范数) 对任一向量 x?Rn, 按照一定规则确定一个实数与它对应, 该实数记为||x||, 若||x||满足下面三个性质: 1) ||x||?0; ||x||=0当且仅当x=0(零向量) 正定性 2) 对任意实数?, ||?x||=|?| ||x|| 齐次性 3) 对任意向量 x, y?Rn, ||x+y|| ? ||x||+||y|| 三角不等式 则称该实数||x||为向量x的范数. ? Rn中常用的三种范数 其中 x1, x2, …, xn 分别是 x 的n个分量. ? 1-范数 ? 2-范数 ? ?-范数 ? 用向量范数的定义来验证, 即验证它们满足向量范数定义中的三个性质. 向量的模 定义(范数等价) 在Rn中有两个范数|| ? ||和|| ? ||?, 若存在实数M, m 0, 使得对任意的 n 维向量 x, 都有 则称这两个范数等价. ? Rn中范数的重要性质: 范数等价定理 范数等价定理: Rn中任意两个范数等价. ? Rn中范数的重要性质: 范数等价定理 例 1-范数, 2-范数和 ?-范数是两两等价的. ? 当不需要指明使用哪一种向量范数时, 就用记号||.|| 泛指任何一种向量范数. ? 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差. ? 设 x 为Ax=b 的精确解, x*为其近似解 ? 绝对误差 ? 相对误差 ? 矩阵范数是用于定义矩阵“大小”的量, 类似于向量范数, 可以定义 n 阶方阵A的范数. 定义(矩阵范数) 设A为n 阶方阵, 按照一定规则有一实数与之对应, 记为||A||, 若||A||满足： 1) ||A||?0, ||A||=0当且仅当A=0时； 2) 对任意实数?, ||?A||=|?| ||A||； 3) 对任意两个n阶方阵A, B, 都有 ||A+B|| ? ||A||+||B||; 4) ||AB|| ? ||A|| ||B|| (相容性条件) 则称||A||为矩阵A的范数. ? 矩阵范数 ? 常用的三种矩阵范数 ? 1-范数或列范数 ? 2-范数或谱范数 ? ?-范数或行范数 ? 用矩阵范数的定义来验证, 即验证它们满足矩阵范数定义中的四个性质. 定理 设A为n阶方阵, ||?||是Rn中的向量范数, 则 是一种矩阵范数, 称其为由向量范数 ||?||诱导出的矩阵范数. ? 由向量范数诱导出的矩阵范数 矩阵范数与向量范数的相容性性质：设矩阵范数是由向量范数诱导出的, 则对任意n阶方阵A, 以及任意的n维向量x, 有 ? 常用的三种矩阵范数均是由向量范数诱导出的. 对于给定的向量范数1-范数, 2-范数及?-范数, 可以证明由它们诱导出的矩阵范数分别为 ? 1-范数或列范数 ? 2-范数或谱范数 ? ?-范数或行范数 ? 实际计算常用1-范数与?-范数因其计算比较简单, 理论证明常用2-范数因为它有一些好性质. ? 由矩阵范数与向量范数的相容性性质知对任意n阶方阵A, 以及任意的n维向量x, 有 误差分析 中常用 ? 矩阵的误差可用矩阵范数表示. 设A*是A的近似矩阵 ? 绝对误差 ? 相对误差 ? 矩阵范数的等价定理也成立. Matlab函数：norm NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)). NORM(X,2) is the same as NORM(X). NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum, = max(sum(abs((X)))). NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,