数值分析实验报告1解析.docx

实验报告实验项目名称插值法实　验　室　数学实验室　所属课程名称数值逼近实验类型算法设计实验日期班级学号姓名成绩实验概述：【实验目的及要求】本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插值方法：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的优劣。本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。【实验原理】《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。【实验环境】（使用的软硬件）软件：MATLAB 2012a硬件：电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz实验内容：【实验方案设计】第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。实验一：已知函数在下列各点的值为xi0.20.40.6.0.81.0f（xi）0.980.920.810.640.38试用4次牛顿插值多项式P4（x）及三次样条函数S（x）（自然边界条件）对数据进行插值。用图给出{（xi，yi），xi=0.2+0.08i，i=0，1, 11, 10}，P4（x）及S（x）。(1)首先我们先求牛顿插值多项式，此处要用4次牛顿插值多项式处理数据。已知n次牛顿插值多项式如下：Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+ f[x0,x1,x2](x-x0) (x-x1)+···+ f[x0,x1，···xn](x-x0) ···(x-xn-1)我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：function varargout=newtonliu(varargin)clear,clcx=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];fx=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];newtonchzh(x,fx);function newtonchzh(x,fx)%由此函数可得差分表n=length(x);fprintf(*****************差分表*****************************\n);FF=ones(n,n);FF(:,1)=fx;for i=2:n for j=i:n FF(j,i)=(FF(j,i-1)-FF(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-i+1)); endendfor i=1:n fprintf(%4.2f,x(i)); for j=1:i fprintf(%10.5f,FF(i,j)); end fprintf(\n);end由MATLAB计算得：xif(xi) 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.200.9800.400.920-0.300000.600.810-0.55000-0.625000.800.640-0.85000-0.75000-0.208331.000.380-1.30000-1.12500-0.62500-0.52083所以有四次插值牛顿多项式为：P4（x）=0.98-0.3(x-0.2)-0.62500 (x-0.2)(x-0.4) -0.20833 (x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)-0.52083(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)(x-0.8）(2)接下来我们求三次样条插值函数。用三次样条插值函数由上题分析知,要求各点的M值：三次样条插值函数计算的程序如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=5for j=1:1:n-1 h(j)=x(j+1)-x(j);endfor j=2:1:n-1 r(j)=h(j)/(h(j)+h(j-1));endfor j=1:1:n-1 u(j)=1-r(j);endfor j=1:1:n-1 f(j)=