数值分析 第七章 非线性方程(组)的数值解法解析.pptVIP

ISCM 2007,Beijing China 数值分析Numerical Analysis 第七章 非线性方程（组）的数值解法 考虑非线性方程组 在点(x0,y0)作二元Taylor展开，并取线性部分 例7.5.1 解非线性方程组 解：取Jacobi矩阵为 Matlab中solve函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。对于得出的结果是符号变量，可以通过vpa()得出任意位数的数值解！ ? solve函数的语法定义主要有以下四种： ?solve(eq)? solve(eq,?var)? solve(eq1,?eq2,?…,?eqn) ?g?=?solve(eq1,?eq2,?…,?eqn,?var1,?var2,?…,?varn) ?eq代表方程，var代表的是变量。 ? 例1? syms?a?b?c?x;?solve(‘a*x^2?+?b*x?+?c’) ? 当没有指定变量的时候, 默认求解x的一元二次方程的解，求解的结果为： ?ans?=???-(b?+?(b^2?–?4*a*c)^(1/2))/(2*a)??-(b?–?(b^2?–?4*a*c)^(1/2))/(2*a)? 当指定变量为b的时候： ?syms?a?b?c?x;?solve(‘a*x^2?+?b*x?+?c’,b’) ?求解的结果为：? ans?=??-(a*x^2?+?c)/x? ? 例2：对于方程组的情况 ?syms?x;?S?=?solve(‘x?+?y?=?1’,’x?–11*y?=?5’);?S?=?[S.x?S.y] ?求解的结果为：? S?=??[?4/3,?-1/3]? §7.4 牛顿(Newton)迭代法 牛顿迭代法的收敛性 定理7.4.1 设 是方程 的单根, 且f(x)在 的某邻域内有连续的二阶导数, 则牛顿法在 附近局部收敛, 且至少二阶收敛, 有 §7.4 牛顿(Newton)迭代法 证: 牛顿迭代公式对应的迭代函数为 若 是方程 的单根,则有 , 从而 由定理7.3.2知,牛顿迭代法在 附近局部收敛。又由定理7.3.3知, 迭代公式至少具有二阶收敛速度。 §7.4 牛顿(Newton)迭代法 利用泰勒公式 §7.4 牛顿(Newton)迭代法 所以 证毕 y x 0 B=x0 f′′(x)0 xn+1 X* a y x 0 B f′′(x)0 a=x0 y x 0 B=x0 f′′(x)0 a y x 0 B f′′(x)0 a =x0 牛顿迭代法的收敛性 §7.4 牛顿(Newton)迭代法 牛顿迭代法对初值x0的选取要求比较高。 x0必须充分靠近x*才能保证局部收敛。 定理7.4.2 如果在有根区间［a,b］上 连续且不变号，在［a,b］上取初始近似根x0满足， 则牛顿迭代法产生的迭代序列单调收敛于方程 f(x)=0在该区间上的唯一解。 结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 ? 不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况 牛顿迭代法的算法实现 牛顿法的优点 牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。可求重根和复根。 牛顿的缺点 对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。 §7.5 弦截法 牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算导数 , 当 比较复杂时, 不仅每次计算 带来很多不便，而且还可能十分麻烦，如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节介绍的弦截法便是一种不必进行导数运算的求根方法。 §7.5 弦截法 弦截法在迭代过程中不仅用到前一步 处的函数值，而且还使用 处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速度。 称之为多点迭代法。 §7.5 弦截法 弦截法的基本思想 为避免计算函数的导数 ，使用差商 替代牛顿公式中的导数 ,便得到迭代公式 称为弦截迭代公式，相应的迭代法称为弦截法。 §7.5 弦截法 弦截法的几何意义 弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点 、 的割线来代替曲线,用割线