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3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， ， 且求. 解 例2 在中，为边上的点，， 求证：. 证明（1） ， 证明（2） 如图3.1-3，过作直线， . 过作交于，得， 因而 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例3 已知，在上，，能否在上找到一点，使得线段的中点在上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于. ， ，且， ，且 为的中点. 可见，当为的中点时，的中点在上. 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在. 例4 在中，为的平分线，求证：. 证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E， AD平分 由知 . 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习1 1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D. 2．如图3.1-7，求. 3．如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. 4．如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：. 5．如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：. 3.12．相似形 我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，，求证：. 证明 在与中， ， ，即. 又与中，， ， . 例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，. 求证：（1），； （2） 证明 （1）在与中，， ， 同理可证得. （2）在与中，， ， 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在中，，求证：. 证明 ， 为直角三角形，又， 由射影定理，知. 同理可得. . 例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： 当时，有.（如图3.1-14a） 当时，有.（如图3.1-14b） 当时，有.（如图3.1-14c） 在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）. 解：依题意可以猜想：当时，有成立. 证明 过点D作DF//BE交AC于点F， D是BC的中点，F是EC的中点， 由可知，. 想一想，图3.1-14d中，若，则 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史. 练习2 1．如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ） A． B． C． D． 2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________. 3．已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积. 4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由； 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？ 5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形， 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，？ 当时，求的度数. 习题3.1 A组 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ） A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6 C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=