(高三总复习第二轮.docVIP

第一讲　函数与方程思想、数形结合思想 [真题试做] 1．(2013·高考浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　) A. B． C．－ D．－ 2．(2013·高考浙江卷) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 3．(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0.(　　) A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b 4．(2013·高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．  1．函数与方程思想 函数思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．如3题解题思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 方程思想 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决．如1题解题思想 2.数形结合思想 以形助数(数题形解) 借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想．如4题解题思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 以数辅形(形题数解) 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．如2题的解题思想 类型一　利用函数与方程思想解决方程、不等式问题 (2013·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：对任意的t0，存在唯一的s，使t＝f(s)． 【思路点拨】　(1)利用导数解不等式，即可得到单调区间． (2)构造函数通过函数的单调性证明方程只有唯一解． 【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (2)证明：当0x≤1时，f(x)≤0. t0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)． 由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． h(1)＝－t0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)0. 故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立． 【题后感悟】　(1)本题第(2)问证明的关键是构造函数h(x)＝f(x)－t，利用第(1)问的结论，判断函数值的符号，从而问题可以证明． (2)解决一些不等式恒成立问题，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数． 1．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有的实数m，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，求x的取值范围． 类型二　利用函数与方程思想解决数列问题 (浙江省各校新高考研究联盟2013届第一次联考)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Snkan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围． 【思路点拨】　(1)由n＝1,2得出两特殊等式，可求得a和q，问题即可解决；(2)由(1)可求出Sn，尽而求出k与n的不等关系，构造关于n的函数，利用函数性质求解． 【解】　(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*， ∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18， ∴q＝＝＝2， ∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3. ∴an＝3·2n－1，n∈N*. (2)由(1)知，Sn＝＝＝3(2n－1)， ∴3(2n－1)k·3·2n－1－2，∴k2－. 令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大， ∴f(n)min＝f