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高三数学 不等式的性质、不等式证明 知识精讲 通用版 【本讲主要内容】 不等式的性质、不等式证明 【知识掌握】 【知识点精析】 实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a、b，a＞b，a＝b，a＜b三者中有且只有一式成立：a＞ba－b＞0，a＝ba－b＝0，a＜ba－b＜0。 在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。 对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种： 1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：A＞BA－B＞0等等，有时为方便计，也使用其变种：A＞B等等。 2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明AB，我们就由BCD…A，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：∵B ∴C ∴D …，∴A由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。 3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。 4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。 其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。 在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。 综合法也是常用的方法之一，在证明时常常用到如下公式： （1）≥2ab（a，b∈R） （2）≥ （3）≥2（a·b0） （4）≥ （5）若a，b∈R，则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 【解题方法指导】 例1. 设a＞0，b＞0，求证：（）（）≥a+b。 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。 证法一：左边－右边＝－（＋） ＝ ＝＝≥0。 ∴原不等式成立。 证法二：左边＞0，右边＞0， ＝＝≥＝1。 ∴原不等式成立。 评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二。要注意的是，作差对两个式的值的符号没有要求，作差后的式子与0进行大小比较；而作商通常对两个式子的值的符号有要求，作商后的式子与1进行大小比较。 例2. a1、b1、a2、b2 ∈R，求证：（a12+a22）（ b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2。 剖析：这是“柯西不等式”在n＝2时的特殊情况，我们利用它来回顾一下常用的几种证明方法： 证法一（作差比较法）： 左－右＝（a12b12+a22b22+a12+b22+a22+b12）－（a12b12+a22b22+2a1b1a2b2）＝a12b22―2a1b2a2b1+a22b12＝（a1b2―a2b1）2≥0。 ∴原不等式成立。 证法二（判别式法）： ∵（a1x+b1）2+（a2x+b2）2≥0恒成立。 ∴（a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2）x +（b12+b22）≥0恒成立。 若a12+a22＞0，则△＝4（a1b1+a2b2）2－4（a12+a22）（b12+b22）≤0 ∴（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2。 若a12+a22＝0，则a1＝a2＝0，原不等式左、右均为0，也成立。 其它方法如： 分析法：左＝a12b12+a22b22+a12b22+a22b12，右＝a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要证原式，只要证明a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，即可 综合法：∵a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，两边同加a12b12+a22b22。 构造法：作向量a＝（ a1，a2），b＝（ b1， b2），由向量的数量积的性质可得 （a）2（b）2≥（a·b）2，代入坐标立得。 几何法：在直角坐标系内取点A（a1，a2）B（b1，b2），则 OA+OB≥AB（+）2≥（）2 亦即≥－（a1b1+a2b2） 右边为负时当然成立，非负时平方即得。 评讲：这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及灵活性。另外，这个不等式也是一个重要的基本不等式，只不过它只是出现在课本的例习题中，