离散数学教学课件04-函数-4.1.pptVIP

第四章 函 数 Functions 第四章 函 数 函数是具有特殊性质的二元关系 我们可以把函数看作是“输入－输出”关系：它把一个(输入)集合的元素变成了另一个(输出)集合的元素 函数（Functions）也称为映射（Mapping）或变换（Transformation） 第一节 函数的概念 定义：设A和B是任意两个集合，且F是从A到B的关系，若对每一个x ? A，都存在唯一的y ? B，使x, y ? F，则称F为从A到B的函数（functions），记作 F：A ? B， A称为函数F的定义域（前域），即D(F)=A， B称为函数F的陪域，R(F)称为函数F的值域，且R(F)?B。 称F(A)为函数F的像。有时也用F(A)表示函数F的值域，即：F(A)=R(F)={y|y?B∧(?x)(x?A∧y=F(x))} 一元函数 对于F：A ? B来说，若x, y ? F 称 x 为自变元， 称 y 为函数因变元，也叫作F在x处的值（或：在F下x的象），或应用于x的函数值 通常把 x, y ? F 记为：F(x)=y 或 f(x)=y 一元函数 从A到B的函数F，与一般的从A到B的二元关系有所不同： A的每一个元素都必须作为F的有序对的第一分量即F的前域A即为A的定义域 若F(x)=y1，且F(x)=y2，则y1=y2即函数F在x处的值是唯一的。 通常我们也把函数f看作是一个映射（变换）规则，它把A的每个元素映射到（变换为）B的一个元素，因此f(x)又叫作x的映像（Image） 一元函数 例4.1.1 设f, g, h ? A×B, A={a, b, c}, B={1, 2, 3}，且 f = {a, 1, b, 1,c, 2} g = {a, 1, b, 2, c, 3, a, 3} h = {a, 2,b, 3} 判断关系f, g, h是否为函数 一元函数 在定义一个函数时，我们必须指定 函数的前域（定义域） 函数的陪域 函数的变换规则 必须覆盖所有可能的自变元的值。 例如：f : Z ? Z f(x) = 0 若 x ≤ 0 f(x) = x - 1 若 x 0 一元函数 若函数的前域是有限的，则可以通过列表或画有向图来表示变化规则。 例如：f : {a, b, c, d} ? Z f(a) = 1  f(b) = 2  f(c) = 2 f(d) = 1 一元函数 定义：设f: A ? B，g: C ? D，若A=C，B=D，且对每一个 x ? A都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记做f=g 本定义说明：两个函数相等，它们必须有相同的定义域、陪域和有序对集合。 例如：函数 f: Z ? Z，f(x)=x2 g: {1, 2, 3} ? Z，g(x)=x2f 和 g是否相等？ 一元函数 有时需要缩小或扩大所给函数的定义域，以创建新的函数： 设f: A ? B，且 C ? A，若有g=f ? (C×B)，则称g是f到C的缩小，也称作f在C上的限制（restriction）记做 g = f|C即 g: C ? B，g(x)=f(x) 反之，称f是g到A的扩大（extention） 一元函数 例4.1.2 设f: N ? N，f(x)=3xg: Z ? N ，g(x)=则g是f到Z的扩大，f是g到N的缩小，即 f = g|N 一元函数 设有集合A和B，|A|= m，|B|= n，那么由集合A到集合B的函数f: A ? B，共有多少个？也就是说，用BA表示所有从A到B的函数的集合，即 BA ={f|f: A ? B}，共包含多少元素？ 由于对于A中的所有m个元素（自变元），其函数值都有n种取法，因此| BA |= nm 一元函数 例4.1.3 设A={1, 2, 3}, B={0, 1}， 试求出所有可能的从A到B的函数 f: A ? B 解： f1={1, 0, 2, 0, 3, 0} f2={1, 0, 2, 0, 3, 1} f3={1, 0, 2, 1, 3, 0} f4={1, 0, 2, 1, 3, 1} f5={1, 1, 2, 0, 3, 0} f6={1, 1, 2, 0, 3, 1} f7={1, 1, 2, 1, 3, 0} f8={1, 1, 2, 1, 3, 1} 多元函数 定义： 设A1, A2, …, An和B为集合，若 f: × Ai ? B为函数，则称f为n元函数在x1, x2, …, xn上的值用 f(x1, x2, …, xn) 表示 特殊的函数 定义：设f: A ? B是函数， 若R(f)=B 或对于任意b ? B，存