(新)弹性力学及有限元——精品.ppt

第2章 应力分析与平衡方程 考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其单位矢量为e1、e2、e3，相应的应力分量为 数学上，对坐标变换时服从一定坐标变换式的9个数所定义的量叫二阶张量，应力张量通常表示为： 作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为P。P在坐标系下的三个分量为Px， Py 和Pz ，则 由此可见，过某点的任意斜面上的应力分量，都可以用过该点的平行于坐标面的微分面上的9个应力分量来表示。写成矩阵的形式，即： 斜面上的总应力为： 斜面上的正应力为： §2.2 主应力与应力张量不变量 设斜截面外法线方向为 ，它的方向余弦为 当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。 将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为应力张量 的特征方程。 设特征方程的三个根为 ，则 主应力的重要性质 3. 主应力的极值性； （1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值； 设： ，则 （2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力T的最大（或最小）值。 最大剪应力 主剪应力与主应力的数值关系为 §2.3 八面体应力、应力强度 现在主应力空间里，考察通过物体内任一点M这的一个微分面，该微分面的外法向n与三个应力主轴呈等倾斜。这样的微分面共有8个，它们可组成一个包含点M在内的无限小的正八面体，如图所示。这些微分面上的应力，就称为八面体应力。 ??? 于是得： 由于这些斜面的法线的方向余弦的绝对值都相等： 同时有： 八面体剪应力对于塑性理论具有重要意义，为了使用方便，将它乘以 ，并称之为应力强度，用符号 来表示，即 八面体剪应力为： §2.4 应力球张量和应力偏张量 描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应力张量 引入平均应力 简写为 球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。 §2.5 平衡(运动)微分方程 如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理,在体力项中引入惯性力: 第三章 应变分析与几何方程 一.几何方程 同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程 二.连续性方程 应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示； 已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一确定的。 反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。 -------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。 -------从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。 表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。 同理： 连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。 第4章 应力与应变关系——物理方程 由材料力学已知，Hooke定律可表示为： 对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理： 剪应变： 二. 体积应变与体积弹性模量 三. 物理方程的其他表示形式 用应变表示应力： 四. 广义Hooke定律(物理方程)的一般表达式 当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中的第一式展开为： 故, 式（１）可用一个线性方程组表示 　　　由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然．因此　为常数，其数值由弹性体材料的性质而定． 弹性矩阵为 极端各向异性体的特点: 2.正交各向异性体 如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面, 这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等 3.横观各向同性体 物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同。 一.指标表示法 1. 指标符号 应力分量： 向量 表示为 2.爱因斯坦求和约定 在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标） 说明： （1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。 例： （2）哑标的有效范围仅限于本项。 （3）多重求和可采用不同的哑标表示。 例： （4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出