培优第3讲递归与求和（学生版）.docVIP

（培优）第三讲 递归与求和 贵川于2014年6月 教师寄语：学而不思则不解，思而不作则不精！ 数列综合题为高考的压轴题目，一般为第一问求通项或求证通项的范围，第二问经常以数列不等式的形式出现，有灵活的处理技巧和难度，学好本节内容是高考考取高分的关键。本文对该类题目作分类分析，以期提高同学们对数列内容的理解和掌握。 一、求通项的常见方法： 类型一、差型、商型递归 1、差型递归： + 例1、求值： 2、 商型递归： 注意：①根据结构寻找数列的后前项之差（商）； ②是联系的关系式； ③解决的方法分别是叠加法和累乘法。 例1、是首项为1的正数列，且满足：，求 例2、、已知数列满足，，求 类型二、一次型整式型递归： （为不等于1，0的常数。想想：为什么有这个规定？） 通法：两边除以得：，令=，其中 则为差型递归，用（1）中的公式或叠加即可求，再解出。 括号里通常有三类，不一样的结构，方法的难易程度有差别。 ①为常数。如，待定系数法较简单。 令展开对应得。 所以是一个等比数列。 思考：一般形式（为常数），用待定系数法配凑时 ； 用迭代法得一般公式为：，此公式怎么来的？ ②为一次函数。如，待定函数法较简单。 令，其中待定函数为 对照系数有，所以 所以是一个等比数列。 思考：为二次函数？ ③为指数函数。如，用通法较简单。 所以为差型递归。 例1、某县位于沙漠地带，到2010年底全县的绿化率为，从2011年起，每年将绿化原有沙漠面积的，同时有的原有绿化面积被沙化。设全县的陆地面积为，2010年底的绿化面积为，经过年后绿化面积为 （1）求，（2）求,（3）需要经过多少年努力才能使绿化面积不少于？ 类型三、不动点法求积式递归或分式递归： 1、积式递归：，（为常数） 令，得根， （1）若有二不等根，可构造，则为等比数列，求出，，公比求出，再转化求出； （2）若有等根，可构造，则为等差数列，求出，，公差求出，再转化求出； 例1、已知数列满足，求。 例2、已知数列满足，求。 2、一次型分式型递归：（分式型一阶递归） （分式型一阶递归） 特征根方程：把项都换为得特征根方程，求其根、， 其余与积式递归相同（一次分式递归转化后即为积式递归，所以二者是指相同）。 例1、已知数列满足，求。 例2、已知数列满足，求。 3、二次型一阶递归：不动点法 例1、已知数列满足，求。 例2、已知数列：，， （1）求数列的通项公式； （2）证明：，。 类型四、二阶递归： 二阶递归数列不作过多要求，这里略述。 特征方程，求其根、，构造新数列通常有等比等规律性性质。 再用一阶递归数列的方法解决。 通项公式：（1）若则，代入初始值求得 （2）若则等差，代入初始值求得首项和公差，不要求机械记忆。 例1、求数列的通项公式。 例2、求裴波拉契数列的通项公式。 例3、求数列的通项公式。 类型五、复合数列问题（注意综合分析，要特别注意考察数列的后前项关系） 例1、设，则数列的通项公式= ． 例2、数列{an}满足a1?1且8an?1 an??16an?1?2an?5?0 (n(1)。记(n(1)。 （1）求b1、b2、b3、b4的值； （2）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。 例3、已知数列，满足，，且（） （1）令，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式及前项和公式． 例4、数列，满足：且，求， 例5、甲容器中有溶液400，浓度为0.8，乙容器中有溶液300，浓度为0.2。记以下过程为一次操作：从甲容器中倒出100溶液给乙容器，混匀后从乙容器中倒出100溶液给甲容器。设第次操作后甲、乙容器的浓度分别为 则至少经过几次操作后梁容器的浓度差小于0.01？（取，） 形如的结构，应变形为，考虑数列为差型递归。 例： 等 例6、数列的前项和为，已知求 类型六、和项关系（要注意从练个方面思考问题） 和项关系：一般数列中：与的关系为：= = 例1、已知数列满足：，，求证： 例2、数列的前项和为，，，求， 例3、数列的前项和为，，，求， 例4、数列的前项和为，，求， 例5、数列的前项和为，， （1）求证 （2）设的公比为，作数列，使，，求 和项关系的深层次理解例 6、正数列满足：，求 例7、，，， … ，均为等腰直角三角形, 已知它们的直角顶点，，， … ，在曲线上，点，，