连续系统的振动4梁的弯曲振动.pptVIP

《振动力学》 《振动力学》 连续系统的振动 梁的弯曲振动 6.4 梁的弯曲振动 细长杆的横向振动时，主要 梁各截面的中心轴在同一平面 xoy 内， 在振动过程中仍应用平面假设， 外载荷作用在该平面内 梁在该平面作弯曲振动(微振)， 即：伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） 假设： 变形形式是梁的弯曲变形， 忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响, 忽略截面绕中性轴的转动。 常称为弯曲振动或横向振动. f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 梁参数： J 横截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量 A 梁横截面积 E 弹性模量， 外部力： 横向位移(也称作挠度)： EJ 梁的弯曲刚度 微段受力分析： 截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 力平衡方程 ： 即 ： 以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 略去高阶小量： 材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： 变截面梁的动力学方程： 变截面梁横向振动的偏微分方程： 对于等截面梁，横向振动的偏微分方程： 方程中包含四阶空间导数和二阶时间导数。 求解该方程需要四个边界条件和二个初始条件。 常见的边界条件与约束状况(力的边界条件或其它) （1）固定端 挠度和截面转角为零 （2）简支端 挠度和弯矩为零 （3）自由端 弯矩和剪力为零 若f (x, t)=0，即为梁横向自由振动的偏微分方程： 代入方程，可得： 此时可利用分离变量法解方程： A、B为积分常数，由初始条件确定。 （1）固定端 （3）自由端 （2）简支端 若密度ρ,横截面积A,横截面对中心主轴的惯性矩J 均为常数， (6.4-19)是四阶常系数线性常微分方程，设其解为： 代入(6.4-19) ，得： 特征方程： 特征根： 通解可改为： 得方程的通解： 这就是梁弯曲振动的振型函数，有四个积分常数。 四个边界条件可以确定四个常数的相对比值和频率方程， 从而确定弯曲振动的固有频率ω和振型函数Y (x)。 例：求悬臂梁的固有频率和模态函数 解： 一端固定，一端自由 边界条件 固定端：挠度和截面转角为零 自由端：弯矩和截面剪力为零 得： 以及： 非零解条件： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 简化后，得： 频率方程 当 i=1,2,3时 解得： 当 时 各阶固有频率： 对应的各阶模态函数： 其中： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 《振动力学》 铅垂梁的前三阶模态形状 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 一个节点 两个节点 无节点 节点位置 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 例：简支梁的固有频率和模态函数 解： 一端圆柱固定铰 另一端圆柱滑动铰 固定铰：挠度和截面弯矩为零 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 得： 以及： 频率方程： 固有频率： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 频率方程： 固有频率： 模态函数： 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 模态形状 节点位置 无节点 一个节点 两个节点 三个节点 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 例：两端自由梁的固有频率和模态函数 背景：导弹飞行 系统类别：半正定系统 存在刚体模态 导弹飞行1 导弹飞行2 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 频率方程： 模态函数： 其中： 当 i=1,2,3时 解得： 当 时 自由端：弯矩和截面剪力为零 当 时 对应刚体模态 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 第五阶模态 自由梁的模态形状 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 《振动力学》 *