2008年重庆地区数学学科求数列通项的类型及解法.docVIP

求数列通项的类型及解法 重庆市黔江新华中学 侯建新（QQ：104804865） 1.形如型 （1）若f(n)为常数,即：,此数列为等差数列，则=. （2）若f(n)为n的函数时，则用累加法（叠加法）. 例1：已知数列的首项为6，且 （1）、写出数列的前5项并归纳总结出通项公式； （2）、利用累加法（叠加法）求出该数列的一个通项公式。 练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 例 2. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足, 证明 证明：由已知得： = . 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式. 解:由已知得, 化简有,由类型(1)有, 又得,所以,又,, 则 2.形如型 （1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，则=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法（叠乘法）. 例1 已知数列｛an｝满足，，求。 解：方法1（递推法）：… 。 方法2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。 例2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 时， ==. 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出. 练习1.在数列中，已知有，求数列的通项公式。 解 又也满足上式 练习2. 已知数列满足，求通项公式？（） 3.形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，再分奇偶项来求通项. 例1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式. 解： 时，， 两式相减得：. 构成以,为首项，以2为公差的等差数列; 构成以,为首项，以2为公差的等差数列 . 评注：结果要还原成n的表达式. 练习1.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 解：方法一：因为 以下同例1，略 答案 4.形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例1. 已知数列,求此数列的通项公式. 注：同上例类似，略. 5．形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 例1.在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。 解：设，则（与已知比较） ，于是 是以为首项，以3为公彼的等比数列。 练习1.在数列中， ，求数列的通项公式。 例2．已知数列中，求通项. 分析：两边直接加上,构造新的等比数列。 解：由得, 所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列 所以,即 . 方法二：由 时， 两式相减得 , 数列是以=为首项，以c为公比的等比数列. =( . 方法四：归纳、猜想、证明. 先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明. 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 练习2.已知数的递推关系为，且求通项。 解：∵ ∴ 令 则辅助数列是公比为2的等比数列 ∴即 ∴ 例3.（07全国卷Ⅱ理21）设数列的首项． 求的通项公式； 解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 练习3. 已知数列满足且，求数列的通项公式。 解：方法1（递推法）：………。 方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。 6.形如型 .(1)若(其中k,b是常数，且) 方法：相减法 在数列中，求通项. 解：，