2.3.1.1 双曲线及其标准方程 梁.docVIP

2.3.1.1 双曲线及其标准方程 教学目标： 1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线标准方程； 理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习提问： 问题1：椭圆的第一定义是什么？ 问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 二、新知探索： 1．双曲线的概念 问：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 设问： ①|MF1|与|MF2|哪个大？ ②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？ ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？ （请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹） (2)定义：引导学生概括出双曲线的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 2．双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系设点 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。 设M（x，y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0），则F1（-c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a2c）。 （2）列式 由定义可知，双曲线上点的集合是P={M|||MF1|-|MF2||=2a}。 （3）代换 （4）化简方程 由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得： 移项两边平方得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）， 如果双曲线的焦点在y轴上，即焦点F1（0，-c）、F2（0，c） 可以得到方程 这个方程也是双曲线的标准方程。 教师强调指出： 双曲线的标准方程与其定义可以联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“一”号连接； ②双曲线方程中a0,b0, 但a不一定大于b； ③如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上，如果 y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置； ④双曲线标准方程中，a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2+b2。 ⑤两种方程的统一形式为：Ax2+By2=1（AB﹤0） 三、讲解范例： 例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）两个焦点的坐标为，双曲线上一点P满足 ； 变式1: 变式2: （2）焦点为 且经过点 ； （3）经过点 。 分析：1、待定系数法（几何视角，代数视角），定位到定量，注意定义中的限制条件。2、当不能确定焦点位置时，可设，避免分类讨论。 例2 如果方程 表示双曲线，求m的取值范围. 变式：方程 表示焦点在y轴上双曲线，则m的取值范围_____________. 思考：方程 中的A，B，C满足什么条件时表示椭圆？双曲线？ 例3 设 是双曲线 的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点 的距离等于9，求点P到焦点 的距离。（答案：17） 四、课堂小结： 定义 若||MF1|-|MF2||=2a（2a|F1F2|） F1、F2为定点，2a为常数。 则点M的轨迹叫双曲线 图形 方程 焦点 F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c）、F2（0，c） 关系 c2=a2+b2(ca0,cb0) 用心 爱心 专心 解: