2.4.2 抛物线的几何性质 梁.pptVIP

抛物线的几何性质 * * * * 结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形，探索其几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点 类比探索 x≥0，y∈R 关于x轴对称，对称轴又叫抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点，原点（0，0）。 (4)离心率 (5)焦半径 (6)通径 始终为常数1 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2p 例题解析 例1. 抛物线顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且过点M(2, ),求它的标准方程，并画出草图。 当焦点在x(y)轴上，开口方向不定时，设方程为y2=mx(m ≠0)(x2=my (m≠0))，可避免讨论。 例2. 斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 y2 = 4x 焦点弦的长度 焦点弦的长度 焦半径 顶点 对称性 范围 图 形 方程 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） 特点 1. 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线； 2. 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 4.抛物线的离心率是确定的，为1； 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响。 P越大，开口越开阔 例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线 的一部分，光源位于抛物线的焦点处， 已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm， 求抛物线的标准方程和焦点位置。 所以所求抛物线的标准方程是 解:如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程是 . 由已知条件点A (40,30)，代入方程得: 焦点坐标是 y O x B A *