16.第十六章《推理、证明与数学归纳法》.docVIP

第十六章《推理、证明与数学归纳法》 本部分为《选修2—2》的第二章《推理与证明》 新 课 标 部 分 一、填空题 1．【2008年江苏】　10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 以上排列的规律，数阵第（）行从左向右的第3个数为 12．如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条。这些直线中共有对异面直线，则＝ ；＝ （答案用数字或的解析式表示） 21．（本小题满分14分） 已知函数是方程的两个根,是的导数设（1）求的值； （2）证明：对任意的正整数，都有； （3）记，求数列的前n项和【解】由解得。 又∵ 是方程的两个实根，且， ∴ （2）∵ ， 下面用数学归纳法证明当时，成立。 ①当时命题成立②假设当时命题成立即 则当时，，命题成立。 根据数学归纳法可知，：对任意的正整数，都有对任意的正整数，都有对任意的正整数，，， ∴ 即数列是一个首项为公比为2的等比数列 。 第十六章《推理、证明与数学归纳法》 本部分为《选修2—2》的第二章《推理与证明》 大 纲 版 部 分 一、填空题 1．【2008年北京理】14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案 如下：第棵树种植在点处，其中，，当时， 表示非负实数的整数部分，例如，． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 2．【2008年湖北理】 15．观察下列等式： …………………………………… 可以推测，当（）时， 。 3【2008年上海理】11．方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是　　 　　． 2008年安徽理】 （21）．（本小题满分13分） 设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是； （Ⅱ）设，证明：； （Ⅲ）设，证明：解：本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力。本小题满分13分。 （Ⅰ）必要性 ：∵， 又 ∵ ，∴，即。 充分性 ：设，对任意用数学归纳法证明。 当时，. 假设当时，，则， 且，. 由数学归纳法知，对任意成立。 （Ⅱ）设，当时，，结论成立； 当时，∵，∴. ∵，由（Ⅰ）知， ∴ 且， ∴ ， ∴ 。 （Ⅲ）设，当时，，结论成立。 当时，由（Ⅱ）知 ， 。2008年安徽文】（21）．（本小题满分12分） 设数列满足其中为实数，且。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，求数列的前项和； （Ⅲ）若对任意成立，证明。 解： 本题主要考查数列的概念、数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力、综合运用知识解决问题的能力。本小题满分12分。 （Ⅰ）方法一： 当时，是首项为，公比为的等比数列。 ，即 。 当时，仍满足上式。 数列的通项公式为 。 方法二： 由题设得：当时， 时，也满足上式。 数列的通项公式为 。 （Ⅱ） 由（Ⅰ）得 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 若 ， 则 由对任意成立，知。 下面证，用反证法。 方法一：假设。由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大 不能对恒成立，导致矛盾。 。 方法二：假设， ， 即 恒成立 （＊） 为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾， 【试题解析】本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识，考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。本题属难题。 【高考考点】数列、等比数列 【易错提醒】转化成特殊数列 【学科网备考提示】两个小题都运用到了数列当中经常涉及到的“通性通法”。在数列有关问题中，化归思想非常重要，怎么想到转化和如何转化是解决有关问题的关键：“怎么想到转化”，主要是头脑具备相关知识的前提下，有“注意观察结构特征”的观念就可以；“如何转化”，主要是经过恒等变形“补”结构差异或依据相关知识点为转化依据. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）记在区间（n∈N*）上的最小值为，令. ① 如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围； (ⅱ) 求证：. 解法一： （I）因为，所以函数定义域为，且。 由得，的单调递增区间为； 由0得，的单调递增区间为（0，+）. （Ⅱ）因为在上是减函数，所以， 则. (ⅰ) 又, 因此，即实数c的取值范围是. (ⅱ) ①知 因为 所以＜，