2.2.2.3 直线与椭圆的位置关系.docVIP

§2.2.2.3 直线与椭圆的位置关系 教学目标： 1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法； 2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题. 3.掌握求解直线与椭圆相交时弦的中点问题的一般求法. 教学重点、难点：直线与椭圆相交时的弦长和弦中点问题的解法 教学方法：讲练结合法 教学过程： （一）复习引入： 圆与直线的位置关系的判定方法： （1）代数方法：消元，判断；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较. （二）新课讲解： 1．椭圆与直线的位置关系的判定： 例1．当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？ 解：由得， ∴ 当，即时，直线和椭圆相交； 当，即时，直线和椭圆相切； 当，即或时，直线和椭圆相离. 说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断. 例2．如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心作直线与椭圆相交于、两点，若要使的面积是，求该直线方程. 解：∵，∴可设所在直线方程为， 由消去得：， ∴， ∴， 由得， ∴直线的方程为，即． 说明：⑴此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和； ⑵设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况. ⑶已知椭圆的焦点分别是、，点在椭圆上，，求证：的面积为. 2．弦长问题： 例3．求直线被椭圆所截得的弦长. 解：（法一）由得或， ∴弦长为． （法二）设直线与椭圆的交点为，， 由消去得， ∴，， ∴弦长． 说明：弦长公式，不仅适用于圆，也适用于椭圆及双曲线等二次曲线. 3．中点弦问题： 例4．求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程. 解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为， 它与椭圆的交点分别为，， 则，消去得， ∴， 又∵为弦的中点，∴，即， ∴，从而直线方程为． （法二）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为， 它与椭圆的交点分别为，， 则， 得：， ∵为中点，∴，， ∴，即， 所以，直线方程为． 说明：1．法一用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系； 2．法二中求中点弦的方法叫做“点差法”，该方法常用来处理与斜率有关的中点弦问题. 例5．已知椭圆，求 （1）斜率为的平行弦的中点的轨迹方程； （2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程. 解：（1）（法一）设弦所在直线方程为， 由消去得：， ， 即，∴， 设弦的两个端点为，，弦中点为， 则，∴， ∴弦中点坐标满足， 消去得中点轨迹方程为（）． （法二）设弦的两个端点为，，弦中点为， 则，得：， ∴，∴，即， 所以，中点轨迹方程为（椭圆内部）． （2）（法一）设直线斜率为，则方程为， 设弦两端点为，，中点为， 则把方程代入椭圆方程消去得：， 得，∴， ， ∴中点满足，消去得轨迹方程， 所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）. （法二）设弦两端点为，，中点为， ，由得， ∴， 又∵，∴， ∴，即， 所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）. 用心 爱心 专心