一.空间点、直线、平面之间的位置关系.docVIP

一．空间点、直线、平面之间的位置关系 1.常见于选填题，也有部分出现在解答题中。主要考察点的位置，直线间的相交平行与异面，直线与平面的相交与平行，平面与平面的相交与平行 2.判定异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 3．求两条异面直线所成角的取值范围与求解方法 范围： 方法：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 4.例题 1.概念辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　×　) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　×　) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　√　) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　) 2. 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案　②③④ 3. (1)(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. (2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　(1)B　(2)C 二．线面平行的判定与性质 1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 2．解题中注意符号语言的规范应用． 3. 判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)． 4. 证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义（无公共点）； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 5.例题 1.概念辨析 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　) (6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.(　√　) (7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　) 2. (2014·安徽) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． 四边形GEFH的面积S＝18. 3. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD. （ 点F是AB上靠近B点的一个三等分点） 4.