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2.Jensen不等式: 定理1： 定理2： 定理1的证明： 对严格凸类似可证; 3. 判定 定理3：(判定1) * * 3.7 利用导数研究函数 提出问题：单调函数特征 单调函数特征 一、单调性 定理3.7.1 证明： 2.严格单调性 定理3.7.2 证明： 定理3.7.3 证明： 仅以一点为例: 有限个点类似 减 定理3.7.4 证明： 反证法 反证法 3.应用 例1 解： 例2.证明不等式: 原理: 证明： 证明： 证明： 证明： 方法 ① 变形, 选辅助函数; ② 可逐次使用 二、极值 1.必要条件 (2) 不可导的点一定不是极值点？ 例如：f (x)=lxl在点 x=0。 (1) 驻点(导数为0的点)一定是极值点？ (极值判定1) (极值判定2) 极值点只能在“驻点”或“不可导点”处取得 2.极值点:“增减区间的分界点” 定理3.7.5 (极值判定1) 例3. 解： 列表: (极值点左右并不一定单调) 在–1和1之间振荡， 例 证明： 定理3.7.6 (极值判定2) 例4. 解： 三、最值 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点，驻点和不可导点的函数值, 比较大小, 哪个最大就是最大值,哪个最小就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例5. 解： 例6. 解： 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 四、凸函数与凹函数 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 1.凸函数 凹函数 凸函数 x y 1.凸函数 (凹函数) 定义: * 该步骤的原因: 函数的最大,最小值点在区间内,则其必是极大,极小值点.若其可导,则还是驻点. 几何描述： （具体的推导在书中P166-167）解析式表示： 几何描述： （具体的推导在书中P166-167）解析式表示： * *