初中“代数式求值问题”的基本题型与解题方法 大理州洱源县振戎民族 ....docVIP

初中“代数式求值问题”的基本题型与解题方法 大理州洱源县振戎民族中学 杨清文 摘 要 在数学教学中，尽管平时很注重知识间的横向联系，但学生对知识的掌握还是较为零散，很不利于对所学知识体系的理解，给学生进一步学习带来一定困难。因此，适时、科学地对所学内容进行总结归纳是很有必要的。本文就“代数式求值问题”，从代值这个角度进行分类，并给出相应的解法。尽管代数式求值问题五花八门，但还是有规律可寻。通过掌握数学方法解决数学问题是高效率数学教学的途径。 关键词：代数式求值 字母代值 整体代值 代数式求值问题是初中代数教学中的基本内容之一，它贯穿在初中代数的始终，是初中数学各年级各层次测试中无法回避的内容。熟练掌握代数式求值问题是初中数学教学的基本要求，而代数式求值问题形式多样，变化丰富多彩。在复习过程中对代数式求值问题进行归纳显得很有实际意义，现就代数式求值问题从代值角度出发，对其进行分类归纳，将其分为三类：（1）字母代值型；（2）整体代值型；（3）比值型。 字母代值型 此类型是代数式求值问题中的基本类型，亦是较为简单的类型，其解题步骤可分为：（1）化简；（2）代值；（3）计算。例如： 已知，求代数式的值。 解：原式 ∴ 当时，原式 当然字母代值问题有时不是直接给出字母的值，而是以其它条件形式出现，但只要认真分析条件，不难从中得到字母的值。例如： 若、为实数，且，试求 的值。 分析：此题中并没有给出字母的值，但从条件结构特点来看，其中有隐含条件和，通过不等式组可得出值，据值又可求出值，从而得到了字母的值。 解：由题意得 即： ∴ 则 ， ∴ 原式= = = 整体代值型 其中又蕴含了一种重要的数学方法——换元法，因此显得非常重要。其步骤为：（1）将要求值的代数式形式化为已知整体表达的形式；（2）整体代值；（3）计算。例如： 已知：，是方程 的两根，不解方程，求代数式 的值。 解：据根与系数关系得： ∴ = = = = = 在有些问题中，给出整体的值无法使用，此时，只须把条件稍作改变就能在问题中使用。例如： （1）已知：，，求代数式的值。 分析：此问题中虽然已知与的值，但要求值的代数式无法化为已知整体的形式。因此，必须将条件改变形式。不难看出，只须将条件中的两等式相减就可以得到。使用整体代值就可解决问题。 解：据题意得 得， ∴ = = =32 （2）已知，求的值。 分析：要求值的代数可变形为的形式，但此整体的值并没有直接给出，因此需对条件作改变，仔细观察，不难发现，条件中的，所以在条件两边也同时除以，就有。 解：在中， ∴ ∴ = = = 7 比值型 此类型充分使用了比例的含义，常常通过假设比例中的一份为一个字母，用该字母的代数式表示比例中的字母减少未知数，代值计算约去所设字母，从而求得代数式的值。此法适用于要求值的代数式是分式的问题。例如： 已知：，求值。 解：设，则 ∴ 当然，此题亦可使用整体代值来解。 对于已知条件是等比式，则可通过假设比值为一个字母（其本质依然是假设比值中的一份为一个字母），用的代数式表示等比中的其它字母，再据已知中的其它条件求得值，进一步得出等比中的未知数，用字母代值即可完成。例如： 已知 ，，求的值。 解：设 则，， ∴ 即： ∴ ，， ∴ 综上所述，尽管代数式求值问题五花八门，但还是有规律可寻。通过掌握数学方法解决数学问题是高效率数学教学的途径。 主要参考文献： 2005年云南省高中（中专）招生考试说明与复习指导 《数学》 2003年《课程教材教学研究》第8期 何立恒 《初中“圆问题”的基本题型与解题方法》 《数学》 人民教育出版社（初中版） 第 1 页 共 6 页