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典型的解直角三角形应用问题 解直角三角形广泛应用于社会的方方面面，涉及航空、建筑、工业、植树造林、水利工程等。解答这类问题主要是把实际问题转化为解直角三角形问题，即将实际问题中的数量关系，转化为直角三角形中元素之间的关系，并画出正确的示意图，利用已学过图形的性质，作出必要的辅助线来解决。解直角三角形的关键是构造直角三角形，然后再利用有关的三角知识进行求解。下面举例说明。 例1 如图1，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆。测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为、，在B地测得C地的仰角为。已知C地比A地高200m，电缆BC至少长多少米（精确到1m）？ 解：作于H，过B作于D，于E。由题意知，设BC x m。 在中，，。 在中，。 所以， 在中，，所以BD 。由此得 解得 故电缆BC至少需要147m。 点拨：本题是典型的长度（距离）计算问题，解这类题的关键就是要在所给出的图形中构造相关的直角三角形，进而利用锐角的三角函数知识构造出方程计算即可。这是解直角三角形问题的一种常用方法，希望同学们认真掌握。 例2 如图2，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场。渔船沿北偏东方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东方向，这时渔船改变航线向正东（沿BD线）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ 解：过点B作于M，故BM//AF 故 在中，， 过点C作于N，交BD于K 在中， 设CK x，则 在中，因，故AN CN 又MN BK，BM KN ，解得x 5 因5海里 4.8海里，故渔船没有进入养殖场的危险。 点拨：本题是航海问题。解答是通过已知方位角，构造出它们所在的三角形，进而利用有关的三角函数知识解决，解题关键是找出适当的三角形。渔船继续航行有无危险，就是看一看所构成的直角三角形的直角边CK与水产养殖场的半径孰大孰小。 通过以上两例，可以看出解决这类问题要掌握转化的思想方法，把实际问题正确地转化为数学模型——画出图形（包括可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，将解非直角三角形问题转化为解直角三角形问题。通常是添设高线，例如等腰三角形、梯形等，便可找到思路），并找出要解的直角三角形，然后根据锐角三角形函数，选择合适的关系式（使运算尽可能简便，且不容易出错），解出所求的未知数的值，并且检验所求出的解是否合理就行了。 思考题：在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图3，倾斜的虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角，一般情况下，倾角愈小，楼梯的安全程度愈高。设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由减至，这样楼梯占用地板的长度由增加到，已知m，，。楼梯占用地板的长度增加了多少？