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2005年GCT工硕数学考前复习指导 高数（上） 一元函数微积分 本部分内容包括：考试要求、样题、重要问题、内容综述、典型例题． [考试要求] 函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用（理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系．） 极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大．（理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较，会用等价无穷小求极限．理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质．） 导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分．（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数，会求复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数．） 微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用．（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．） 积分：不定积分和定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用．（理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质、基本积分公式；掌握不定积分的换元积分法与分部积分法． 理解定积分的概念、基本性质及定积分中值定理；理解变上限定积分函数及其求导公式，掌握牛顿-莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法和分部积分法；掌握用定积分表达和计算一些几何量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、截面面积已知的立体体积等．） 一、函数 [内容综述] 1．函数概念 （1）函数的定义； （2）函数的两要素； （3）函数的图形； （4）函数的表示法 （5）分段函数； （6）隐函数 ， 2．函数的性质 （1）奇偶性； （2）单调性； （3）周期性； （4）有界性 3．反函数与复合函数 （1）反函数； （2）复合函数 4．初等函数 （1）基本初等函数； （2）初等函数 [典型例题] 例1 求下列函数的定义域 （1）， （2）， （3）． 例2 已知函数的定义域为，求函数的定义域． 例3 研究下列函数的奇偶性 （1），奇函数 （2），奇函数 （3）．偶函数 例4 已知函数的周期是，求函数的周期． 例5 设，求的表达式． 例6 已知, 求的表达式． 例7 已知，求的表达式． ，， 例8 已知 求． 二、极限 [内容综述] 1．数列的极限 （1）数列的概念； （2）数列极限的概念； （3）判断极限存在的两个准则 （4）数列极限的性质； （5）数列极限的四则运算 2．函数极限 （1）时的极限； （2）时的极限； （3）夹逼定理 （4）函数极限的性质； （5）函数极限的四则运算、复合函数的极限 3．两个重要极限 4．无穷大量、无穷小量 （1）无穷大量； （2）无穷小量； （3）几个关系； （4）无穷小的比较与等价无穷小代换 [典型例题] 例1 求下列极限的值 （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8）， （9）， （10）， （11）, （12）． 例2已知，求的值． 例3 已知，求的值． 例4 若， ，求与的值． 例5 已知，证明存在并求其值． 提示 证明数列单调下降有下界． 例6 求极限． 提示 根据，利用夹逼定理． 例7 已知为周期函数，且，试证． 提示 ． 例8 证明等价无穷小关系的传递性． 提示：． 三、函数的连续性 [内容综述] 1．基本概念 （1）连续及连续点； （2）左、右连续； （3）间断点及其分类 2