第一章线性控制系统的描述.docVIP

§1.1预备知识 — 拉普拉斯变换 1.拉氏变换定义 设, , (1.1) . 象函数 原象函数. 由 , 故若, ，则存在. 定理1.1 若在内的任一有限区间上按段连续且, 则当Re时, (1.1)式绝对收敛, 且一致收敛. 证 由及Re, 得 , 由高数知识, 得绝对且一致收敛. 2.几个常用函数的拉氏变换 (1) , ； 因 . (2) , ； 由, 得 . () (3) , ；证法类似 (2). (4) , ； 单位阶 跃函数 , . (5) ； 单位脉冲函数 单位矩形函数, , ； 故 . 性质： (i) ； (ii) , 连续； (iii)； “一系列脉冲信号之和” , 当时, 有 , 与(iii)式等价. 3.拉氏变换的主要性质 设、, 则 性质1(线性) . 性质2(时域伸缩). 证 . 性质3(时域平移) 设平移后为, (注当, ), 则 . 证 由条件可得 . 性质4(复域平移) 证 由 . 例1.1求,的拉氏变换. 解 因 , , 由性质4得 , . 性质5(微分 ) . 证 . 推广 . 性质6(积分) . 证 令, 则 # , 性质7(象微分) . 证 # 一般 , . 性质8(象积分) . 证 留作习题. 性质9(初值定理) 若存在, 则 .# 证 在中, 令, 得 . # 性质10(终值定理) 若存在, 则有 . 证 在中, 令, 得 . 定义1.2 与的卷积运算定义为 . 令, 得 . 若, , , 则 . 性质11(卷积定理)设, , 则 . 证 . 先后得: .# 4. 拉氏反变换 . (1.2) 有理(分解(再. 例 1.2 求的拉氏反变换. 解 . . 例1.3 设, 求拉氏反变换. 解 , . # 5. 用,解常微分方程 例1.4 设, 若, , , 求. 解 , 由条件 , 分解 , 反变换得 .# 6.应用Matlab解题 在Matlab中,符号表达式是由sym定义的. 如y=sym(cos(w*t)) (1) Laplace变换 syms a s t w laplace(t^5) returns 120/s^6 laplace(exp(a*t)) returns 1/(s-a) laplace(sin(w*t)) returns w/(s^2+w^2) laplace(cos(w*t)) returns s/(s^2+w^2) laplace(t^sym(3/2)) returns 3/4*pi^(1/2)/s^(5/2) laplace(diff(sym(F(t)))) s*laplace(F(t),t,s)-F(0) laplace(sin(w*x),t) returns w/(t^2+w^2)指定其它变量 (2) 部分分式化 分子分母的表示为 命令 [r, p, k]=residue(num,den)即可 例1.5 分解 (3) Laplace 反变换 syms s t w x y ilaplace(1/(s-1)) returns exp(t) ilaplace(1/(t^2+1)) returns sin(x) ilaplace(t^(-sym(5/2)),x) 4/3/pi^(1/2)*x^(3/2) ilaplace(y/(y^2 + w^2),y,x) returns cos(w*x) ilaplace(sym(laplace(F(x),x,s)),s,x) returns F(x) ilaplace(3/(s+6)) ans 3*exp(-6*t), ilaplace(4/(s^2+4)) ans 4^(1/2)*sin(4^(1/2)*t), §1.3 输入—输出分析 16