弹塑性力学_精简版本详解.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 工程上一般把圆筒分为厚壁筒和薄壁筒。当外径与内径之比小于 时可按薄壁圆筒进行分析，当大于1.2时则按厚壁圆筒进行分析。厚壁圆筒是弹塑性力学问题中最简单的问题之一，即应力和应变只与一个坐标有关，而且在塑性阶段考虑材料的不可压缩性后，可以得到封闭形式的解答，本节讨论的受内外压力作用的厚壁圆筒，属于这类问题。此外还有整球形容器等。 6.6 厚壁筒的弹塑性解 6.1 弹性解 设图6.11所示厚壁圆筒为理想弹塑性材料，外径为2b，内径为2a，受到内压为 ，外压为 作用。并设圆筒的长度比圆筒的直径来说足够大，以致可以认为离两端足够远处的应力和应变分布沿筒长方向没有差异。 应力和应变的分布对称于圆筒的中心轴线. 则每一点的位移将只有 r 方向的分量 u 和 z 方向的分量 w ,即 u, w 均与θ 无关. (a) 将式(a)代入(6.5-14)式，显然后两个条件自然满足，而由前两式可得 (b) (c) 任一横截面变形后仍保持平曲(如图)。因而，应力与应变的分布对称于圆筒的中心轴线。显然这是一轴对称问题，则应力即为式 。式中的三个常数 由边界条件确定，即 (6.5-14) 式(b)两个方程不能决定三个常数 ，补充的条件应从位移方面去找，现从环向位移的表达式 中的第二式 (6.5-15) (c) 其中 一项是多值的，但环向位移应是单值的，即要求 。于是可知，必有 ，从而由(b)式可得 (d) (6.6-1) 幻灯片 135 将(d)式代入 式和 式第一式，则得正应力分量和位移 为 (6.5-14) (6.5-15) 如果厚壁圆筒两端自由，则 ，而 任何横截面变形时保持为平面，因此这个问题属平面应力问题， 由上式可见，厚壁圆筒内任何一点的应力 和 之和为常值。 常数， 其位移由(6.5-16)式确定。 当 ，即在筒内边缘，由(6.6-1)式，有 (6.6-2) (6.6-3) 当 ，即在筒外边缘，由 式，有 (6.6-1) (6.6-4) 由式(6.6-4)可见，因 ，所以周向受拉，径向受压， 应力分布如图6.12所示。 当厚壁圆筒仅受内压 ，此时因 ，所以 式简化为 (6.6-1) 根据特雷斯卡屈服条件，由(6.6-4)式可得内壁( )处， 为 ，可求得弹性极限内压力 )达到最大值时，即 ( (6.6-5) 显然，当 时， 由此可知，在无限空间物体内圆柱形孔洞受内压时(如压力隧道)，其壁表面开始屈服时的压力值 与孔径无关。 如果采用米泽斯屈服条件式，注意到当两端全自由时，因 ,和由广义虎克定律有 ，则可得 筒内边缘( )开始屈服时，有 6.2 弹塑性解 (6.6-6a) 如取 ，则上式成为 (6.6-6b) 即按米泽斯屈服条件，弹性极限载荷为 (6.6-7) 按照特雷斯卡屈服条件 6.2 弹塑性解 由上面的分析可知，在厚壁圆筒无外侧压力( )的情况下，当 ，处于弹性状态，而当 且随着压力的的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。由于应力组合( )的轴对性，塑性区与弹性区的分界面应为圆柱面。 时，在内壁出现塑性区， 筒体处于弹塑性状态时，设筒体中弹塑性分界面半径为 。 为塑性区， 如图6.13所示，即当 图6.13 弹性与塑性区域分界 为弹性区。 而当 由于在塑性区内平衡方程仍然成立，当不计体力时，且因对称性，平衡方程式简化为 采用特雷斯卡屈服条件，并代入上式可得 (e) 积分 其中C为待定常数，由筒壁内边缘 处的边界条件 ， 可得 ,代入(e)式后，得 (f) 当 时，并记此处的径向应力为 ，则由上式可得 (g) 这样问题可化为内半径为( )的圆筒受压力 作用的弹性问题。 对于外层弹性区域来说， 就是作用在该区域内侧的径向压力， 因在 处 必须连续，故可由上式及(g)式消除 ，可得 (6.6-8) 于是，由式(6.6-5) 有 上式即为弹塑性交界面 处应满足的方程，该式为超越方程，当给定 时，可用数值方法求得 值。 综上所述，塑性区( )的应力分量为 (6.6-9) 由式(6.6-9)的导出可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压 有关，与弹性区的应力无关。而且在塑性区内 ， 。 以上结果说明，塑性区的应力分量 和