高三一轮复习函数导数及其应用.docVIP

第一节 函数及其表示 考纲下载 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 一、必备知识 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应 关系 f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析式法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 二、必记结论 1．映射与函数都是一一对应关系，可以是一对一，多对一． 2．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广． 3．函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象． 4．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x2－2x与函数f(t)＝t2－2t是同一个函数．(　　) (2)函数y＝1与函数y＝x0是相同函数．(　　) (3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．(　　) (4)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．(　　) 提示：(1)正确．定义域和对应关系都相同． (2)错误．函数y＝1的定义域为R，而函数y＝x0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (3)错误．两个函数的定义域和值域相同时，不一定是同一个函数．如y＝sin x和y＝cos x. (4)正确．根据分段函数的性质可得． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、牛刀小试 1．下列各图形中是函数图象的是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 解析：选D　由函数的定义可知选项D正确． 2．下列四组函数中，表示同一函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lg 解析：选D　A中两函数值域不同，B，C选项中两函数的定义域不同． 3．(2014·山东高考)函数f(x)＝ 的定义域为(　　) A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：选C　由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质得x＞2，即函数f(x)的定义域是(2，＋∞)． 4．设函数f(x)＝则f的值为________． 解析：由题易知，f(2)＝4，＝， 故f＝f＝1－＝. 答案： 　　　 考点一 函数的定义域　 [例1]　(1) (201)函数f(x)＝ ＋的定义域为(　　) A．(2，＋∞] B．(－2，1] C．(－∞，－2)∪(－2，0] D．[2，＋∞) (2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________． [听前试做]　(1)由题意知解得x2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)． (2)因为函数f(x2－1)的定义域为[0，3]，所以－1≤x2－1≤8，故函数y＝f(x)的定义域为[－1，8]． 答案：(1)A　(2)[－1，8] [探究1]　在本例(2)中，若f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(x2－1)的定义域． 解：因为f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x2－1≤3，即1≤x2≤4，解得1≤x≤2或－2≤x≤－1，故函数y＝f(x2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1，2]． [探究2]　在本