《组合数学》工学研究生09年秋季.docVIP

西安电子科技大学 研究生课程考试试题 考试科目： 组 合 数 学 考试日期：2009年 12 月 31 日 考试时间： 120 分 考试方式： 闭卷 任课教师： 姜建国 学生姓名： 学 号： 注意，请先阅读完题目后面的要求后再答题。 （10分）请计算多项式的展开式中和两项的系数。 （10分）满足不定方程＝62的整数解共有多少组？其中要求，，，。 （10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10个小时。问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。 （10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。那么，有多少种不同的分法？。 （10分）求递推关系10分）某人有99根相同的铅笔，他每天送给某个小朋友一根或两根，那么他可以有多少种方式把这99根铅笔送完？ （10分）某班的学习委员给大家发英语作业本，不小心发乱了。（1）结果没有一个同学同时拿到了自己的作业本。问出现这种分发结果的可能性有多少种？（2）若至少有两人拿到了自己的作业本，问出现这种分发结果的可能性又是多少？ （10分）某班同学选修外语课，可选的外语语种有英语、法语和德语。其中有14人选学英语，12人选学法语，6人同时选法语和英语，5人选学德语和英语，还有2人同时选了这三种外语，而6个选德语的同学每人包括德语在内都至少选了两种外语。问该班至少有多少名学生？ （10分）在一个边长为n的正方形中至少选取多少个点，才能保证在以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于二分之一？并证明你的结论。 用红色和蓝色两种颜色对一个正六面体的八个顶点进行染色，使其中有3个顶点染红色，其余5个顶点染蓝色，且六面体可以做任何能使得图形重合的刚体运动，求不等价的染色方案数。其中正六面体的8个顶点的置换群Q的轮换指标为＝ 要求： 请在试题和试卷上写上学号和姓名； 请给出每一个问题的具体解答过程； 考试时允许携带计算器； 所有的答案都要按顺序写在试卷上； 请按题目的顺序书写答案； 请将试题夹在自己的试卷中一并交回； 对于计算题，当计算结果较大时，不要求计算出具体的数字，只要给出答案的表达式即可，如答案为－15或20!－3×8! （10分）请计算多项式的展开式中和两项的系数。 ＝22680 ……………………………………………………………… 分＝22680 ……………………………………………………… 5分10分）满足不定方程＝62的整数解共有多少组？其中要求，，，。 做变换＋3, －5, , ……………………………… 2分 原方程化为＝60 …………………………………………………… 2分 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 ……………………………… 3分 答案为＝＝ ……………………………………………………………… 2分 结果为39711 ………………………………………………………………………………………… 1分 （10分）5小时，最多工作10个小时。问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。 分析问题，写相应的（普）母函数 …………………………………………………………… 4分＝母函数展开得 ＝＋…＋676＋…＋ …………………………… 4分 ＝(1＋2x＋3＋4＋5＋6＋…＋)（系数对称） ＝(1＋3x＋6＋10＋15＋21＋25＋27＋…＋) ＝(1＋4x＋10＋20＋35＋56＋80＋104＋125＋140＋146＋…＋) ＝(1＋4x＋10＋20＋35＋56＋80＋104＋125＋140＋146＋…＋) ＝ (1＋5x＋15＋35＋70＋…＋780＋…＋5＋) ＝＋5＋15＋35＋70＋…＋780＋…＋5＋ 答：共有种选法 ……………………………………………………………………………10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。那么，有多少种不同的分法？ 方法I：用母函数 分析问题，写相应的（指）母函数 ……………………………………………………………… 4分 ＝ 母函数展开＝1＋3＋…＋79＋…＋4200 ………………………………… 4分 答：共有79种分法 ……………………………………………………………………………… 2分 =81种分法 ……………………………………………… 4分………………………… 4分……………………………………………………… 2分（10分）求递推关系 特征方程＝0 …………………………………