《微积分》期末复习题及答案.docVIP

数三《微积分》期末复习题 一、选择题 1. 对于，原点（0，0）（ ）. （A） 不是驻点 （B） 是极大值点 （C） 是驻点却不是极值点 （D） 是极小值点.下列积分值为0的是___ A. ； B. （利用几何意义去判定）； C. ； D. . 解： C：考察奇偶函数在对称区间上的积分 D：利用几何意义：此积分可以看成函数在 -1,1 上的面积。 ，即是上半圆的面积 3. 二元函数在点 0,0 处 B . A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是_______. A． B. C． D. . . 级数（ ）（A）条件收敛 （B） 绝对收敛 （C） 发散 （D） 敛散性不能判定 ，而收敛，所以绝对收敛。 6 设为连续函数，，则 A ； B ； C ； D 0. 交换积分次序得 所以 所以选A 二、填空题 1、若为区域，则＝（ ） 函数 3. 若，则 ___________. 分析：本题考查积分变限函数的积分的导数， 所以本题的答案为 4. 已知,则__________. 解：令 所以， 5 设，则 . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数，然后再利用 本题： 在点处，有，所以 6．若级数为 则它的一般项_________. 交换积分次序＝ 定积分____________.三、题1．求极限. 2. 已知方程，f 具有二阶连续偏导数，求. 计算，其中D是由曲线围成的第一象限的闭区域. 4 设. 解：设，则， 再一次对x求偏导数，得 . 计算.解：＝ ＝ 求幂级数的收敛域.解： 当时，发散， 当时，为交错级数，收敛。 所以此幂级数的收敛区间为 用比较法判定级数的敛散性. 解：因为 且是的等比级数，所以收敛。 故也收敛。 所确定的隐函数的偏导数. 解：在方程两边对x求偏导，得 ； 在方程两边对y求偏导，得 四．综合题 1. 公司通过电视和报纸作广告.已知销售收入R（万元）与电视广告费（万元）、报纸广告费（万元）的关系为. （1）在广告费用无限制时，求最佳广告策略； （2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略. 解：（1）由 求解方程组，得驻点. 因为问题本身有最大值且驻点惟一， 所以最佳广告策略是：电视广告费元、报纸广告费为元. （2）在条件下的最大值，利用Lagrange乘数法，设Lagrange函数为 ，则 由方程组. 因为问题本身有最大值且驻点惟一 所以最佳广告策略是：电视广告费万元、报纸广告费为万元 2. 设幂级数 ，求该幂级数的（1）收敛半径；（2）收敛域；（3）和函数.解：（1）由于， 则收敛半径为 （2 当时，原级数为， 当时，原级数为， 从而，原级数的收敛域为。 （3）记, 令， 则 ， 则 从而，3. 求由与所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕轴旋转所成的体积. 解： 4. 求函数的极值. 解：求一阶偏导数 求二阶偏导数 ，， 在点处， ，， 因为且， 所以为极小值，