高三数学推荐复习全套资料第三章 专题二.docVIP

专题二　导数的工具性作用之研究 1．f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)0(或f′(x)0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使 f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定． 2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件 对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分． [难点正本　疑点清源] 1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式． 2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究． 3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个． 4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值． 5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可． 6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点. 题型一　利用导数求函数的单调区间 例1　已知函数f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间． 探究提高　本题的难点是对函数在区间上单调和求函数的单调区间的理解．函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上恒等于零即可，求函数的单调区间解f′(x)0(或0)即可． 已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2 (k≥0)． (1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间．题型二　利用导数求解函数的最值或极值 例2　已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx (a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.设x1、x2为方程f(x)＝0的两根． (1)求的取值范围； (2)若当|x1－x2|最小时，g(x)的极大值比极小值大，求g(x)的解析式． 探究提高　本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：①|x1－x2|取得最小值时，会有怎样的结论？②怎样求出g(x)的极大值、极小值？在问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x1－x2|2关于的函数关系式，由第(1)问中∈求得|x1－x2|2取最小值，即|x1－x2|取得最小值时的条件是a＝b.然后在求g(x)的极大值、极小值时，需要对a分a0、a0进行讨论，得到相应的极大值、极小值． 函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求a，b； (2)求函数f(x)在[0，t] (t0)内的最大值和最小值． 题型三　已知单调区间求参数范围 例3　已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x. (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围． 探究提高　(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决． (2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意． 设函数f