高三数学推荐复习全套资料第四章 第7课时.docVIP

§4.7　三角函数的最值及应用 1．正弦、余弦函数的值域与最值 y＝sin x y＝cos x 值域 [－1,1] [－1,1] 最大值 及条件 1 x＝＋2kπ (k∈Z) x＝2kπ (k∈Z) 最小值 及条件 －1 －1 x＝－＋2kπ (k∈Z) x＝(2k＋1)π (k∈Z) 2.y＝Asin(ωx＋φ) (A0，ω0)的最值及对应条件 (1)值域： (2)最大值：，取得最大值的条件x＝． (3)最小值：，取得最小值的条件x＝． [难点正本　疑点清源] 关于三角函数最值的求法 (1)涉及到有范围的三角函数最值求解时，一般要借助三角函数的单调性求解． (2)涉及到图象交点问题或方程有根的问题，往往采用数形 结合的思想兼顾三角函数值域的求法． (3)求三角函数的最值时，务必灵活掌握三角函数的和、差、倍、半角公式，在此基础上，借助函数的性质求解． 1．函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________，此时x＝__________________. 2．函数g(x)＝cos2x，x∈的值域为________． 3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为__________． 4．若sin α＋sin β＝，则cos α＋cos β的取值范围是____________． 5．若直线y＝a与函数y＝cos在[0，π]上有交点，则实数a的范围是__________． 题型一　可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型值域的求法 例1　已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x，x∈R. (1)求f的值； (2)求函数f(x)的最小值，并写出此时x的集合． 探究提高　解答此类问题的方法是先依据三角函数的和、差、倍、半角公式把待求问题转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后借助单调性求解． 已知函数f(x)＝cos＋2sinsin，求f(x)在上的值域． 题型二　可化为二次函数型值域的求法 例2　求函数f(x)＝2－4asin x－cos 2x的最大值和最小值． 探究提高　(1)对于y＝asin x＋bcos 2x (a，b≠0)型的函数，求解时可利用“cos 2x＝1－2sin2x”把函数转化成关于“sin x”的二次函数求最值． (2)求最值时要注意sin x的范围． (3)如果对称轴不定，还需要结合图象分类讨论． 已知函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R，当y取最大值时，x＝α，当y取最小值时，x＝β，且α，β∈，则sin(α－β)＝________. 　　　　　　　　　　 12.等价转化思想的应用 试题：(14分)(2011·淮安模拟)已知f(x)＝2sin2－cos 2x，x∈. (1)求f(x)的最大值和最小值； (2)若不等式|f(x)－m|2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围． 审题视角　(1)先利用和、差、倍、半角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后分析“ωx＋φ”的范围，进而求其最值． (2)|f(x)－m|2恒成立等价于f(x)max－2m且mf(x)min＋2. 规范解答 解　∵f(x)＝－cos 2x ＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2sin.[4分] (1)∵x∈，∴≤2x－≤， ∴2≤1＋2sin≤3， ∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.[8分] (2)∵|f(x)－m|2f(x)－2mf(x)＋2， x∈， 要使不等式恒成立，则[12分] ∴1m4，即m的取值范围为(1,4)．[14分] 批阅笔记　本题在求解过程中失分点有三处：(1)f(x)化简不正确，得出f(x)＝1＋2sin；(2)求最值或取值范围问题忽略相应变量的取值范围造成失分；(3)|f(x)－m|2等价转化不到位，只认为|f(x)max－m|2便可以． 方法与技巧 1．化三角函数式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的单调性或有界性求最值． 2．对于不能化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，可利用换元法，将其化为二次函数求解． 3．利用三角函数图象即数形结合的思想求解． 失误与防范 1．对于三角函数的化简一定要准确运用公式，防止化简错误． 2．在给定区间上求最值时，一定要注意区间范围，考虑函数在区间上的单调性． 3．在利用换元法求解时，一定要注意新元的范围． (时间：60分钟) A组　专项基础训练题组 一、填空题 1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值为________． 2．f(x)＝sin x＋cos x的最大，最小值分别是__________． 3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．