高三数学推荐复习全套资料第四章 第8课时.docVIP

§4.8　三角函数模型及其简单应用 1．三角函数模型的简单应用 2．解三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； (2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； (3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； (4)作出结论． 1．△ABC中，O为坐标原点，A(1，cos θ)，B(sin θ，1)，θ∈，则当△OAB的面积达到最大值时，θ＝______. 2. 积为，则sin2θ－cos2θ的 3. 如图所示，货轮在海上以40海里/小时的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船位，在B点观测灯塔的A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时与灯塔A的距离是______海里(结果可以保留根号)． 4．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos，若对任意x∈R都有f＝f，则g＝________. 题型一　三角函数模型有关的应用问题 例1　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少小时时间可供冲浪者进行运动？ 探究提高　 已知电流I与时间t的函数关系式为I＝Asin(ωt＋φ)． (1)如图是I＝Asin(ωt＋φ) (ω0，|φ|)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段 s时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 题型二　灵活运用三角知识解决实际问题 例2　如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为θ的函数； (2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？探究提高　． 　如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 　　　　　　　　　1.用三角函数解决几何问题 试题：(14分)l1，l2，l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线． (1)如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长； (2) 如图所示，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值，并求该正三角形边长，如果不能，说明为什么？(3)如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2的距离为d1，l2与l3的距离为d2，求d1·d2的范围？ 审题视角　(1)注意到l1∥l2∥l3且l1与l2的距离等于l2与l3的距离，△ABC为等边三角形， l2必垂直平分AC.(2)这是一个探索性问题，应从能放出发，利用三角函数建立关系，求解．(3)建立d1d2的三角函数式，利用三角函数求最值． 规范解答 解　不妨设A∈l1，B∈l2，C∈l3. (1)∵A，C到直线l2的距离相等， ∴l2过AC的中点M.∴l2⊥AC. ∴边长AC＝2AM＝2.[4分] (2)假设能放，设边长为a，BC与l3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°θ60°，∴asin θ＝2，asin(60°－θ)＝1. 两式相除，得 sin θ＝2sin(60°－θ)sin θ＝cos θ－sin θ， ∴2sin θ＝cos θ.∴tan θ＝. ∴sin θ＝，边长a＝＝.[9分] (3)d1·d2＝4sin(60°－θ)sin θ ＝4sin θ ＝2 ＝2sin(2θ＋30°)－1. ∵0°θ60°，∴30°2θ＋30°150°. ∴sin(2θ＋30°)≤1. ∴d1·d2∈(0,1]．[14分] 批阅笔记　(1)本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为变