高三数学推荐复习全套资料第四章 第9课时.docVIP

§4.9 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理：________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝______________；(2)a＝________，b＝__________，c＝________；(3)sin A＝________，sin B＝__________，sin C＝______等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝____________，b2＝________________，c2＝__________.余弦定理可以变形为：cos A＝________，cos B＝______________，cos C＝______________. 3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题． [难点正本　疑点清源] 解三角形时，三角形解的个数的判断 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 1．在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________. 2．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________. 4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________． 5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为________． 题型一　利用正弦定理求解三角形 例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c. 探究提高　 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________． 题型二　利用余弦定理求解三角形 例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－. (1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积． 探究提高　 (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3. (1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值． 题型三　正、余弦定理的综合应用 例3　(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2. (1)当p＝，b＝1时，求a，c的值； (2)若角B为锐角，求p的取值范围． 探究提高　 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. (1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值； (2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状． 　5.代数化简或三角运算不当致误 　　　　　　 试题：(14分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 审题视角　(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示． (2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角． 规范解答 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B．[4分] 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B.[8分] 在△ABC中，02A2π，02B2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC为等腰或直角三角形．[14分] 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a，[6