高三数学推荐复习全套资料第四章 第5课时.docVIP

§4.5　两角和与差的正弦、余弦和正切 1．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) cos(α＋β)＝________________________　(C(α＋β)) sin(α－β)＝________________________　(S(α－β)) sin(α＋β)＝________________________　(S(α＋β)) tan(α－β)＝________________________　(T(α－β)) tan(α＋β)＝________________________　(T(α＋β)) 前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋(T(α＋β)需满足)，α－β≠kπ＋(T(α－β)需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T(α±β)处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解． 2．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为： tan α±tan β＝____________________________， tan αtan β＝________________＝__________________. 3．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝_____________________或f(α)＝__________________，其中φ可由a，b的值惟一确定． [难点正本　疑点清源] 1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系 理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可． 2．辩证地看待和角与差角 为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等． 1．化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝________. 2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为________． 3．函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为______________________． 4．设sin(＋θ)＝，则sin 2θ＝________. 5．若sin＝，则cos的值为________. 题型一　利用和、差角公式求值 例1　求下列各式的值： (1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°； (2)－＋64sin220°. 探究提高　 (1)化简： ·； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·. 题型二　三角函数的给角求值与给值求角问题 例2　(1)已知0βαπ，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 探究提高　 (2011·广东)已知函数f(x)＝ 2sin，x∈R. (1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 题型三　三角变换的简单应用 例3　(高考变式题)已知f(x)＝sin2x－2sinsin. (1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈，求f(x)的取值范围． 探究提高　 (2010·天津)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值． 　　　　　　　6.构造辅助角逆用和角公式解题 试题：(14分)已知函数f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值． 审题视角　(1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f(x)＝asin x＋bcos x的形式时，可考虑辅助角公式． 规范解答 解　(1)因为f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x ＝cos2x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x[2分] ＝cos 2x＋sin 2x＝2sin， 所以最