高三数学推荐复习全套资料第三章 第1课时.docVIP

§3.1　导数的概念及其运算 1．平均变化率 函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________________________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为____________． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝__________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处________，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的________，记作________． (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点____________处的______________．相应地，切线方程为________________． 3．函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________． 4．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝C (C为常数) f′(x)＝______ f(x)＝xα (α为常数) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax (a0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax (a0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝______ 5.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝____________________； (3)′＝________________________ (g(x)≠0)． [难点正本　疑点清源] 1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数； (2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是惟一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1． f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________． 2． 3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________. 4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________． 5．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________. 题型一　利用导数的定义求函数的导数 例1　求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 探究提高　求函数f(x)平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率＝. 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了． 利用导数的定义求函数的导数： (1)f(x)＝在x＝1处的导数；(2)f(x)＝. 题型二　导数的运算 例2　求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x；(2)y＝x； (3)y＝x－sin cos ；(4)y＝(＋1). 　探究提高　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． 求下列各函数的导数： (1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝－sin ；(4)y＝＋； (5)y＝.题型三　导数的几何意义 例　已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (