高中数学：4.3《定积分的简单应用》教案（北师大版选修2-2）.docVIP

定积分的简单应用 一、教学目标： 1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）、定积分的应用 【定积分在物理中应用】 1、求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 例 1。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 解：由速度一时间曲线可知： 因此汽车在这 1 min 行驶的路程是： 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 2．变力作功 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (ab) ，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？ 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到 答：克服弹力所作的功为. 例3．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求 （1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。 分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC＝ （2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s), 则DB＝ （3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s） 练习：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。 （三）、课堂小结： 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。 （四）、作业：课本P86页7 P95页9、11 五、教后反思 根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m