高中数学：5.1.2 复数的有关概念（一） 教案 （北师大选修2-2）.docVIP

5.1.2 复数的有关概念实数 一一对应 实数轴上的点 （几何模型） 问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？ （学生猜测，讨论，形成一些共识） 二、建构数学 1、复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。 2、复数的几何意义 复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。） 三者的关系如下： [巩固练习] （1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数： 4，2+i，-1+3i，3-2i，-i （2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 （3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？ 变式：第二象限的点表示的复数有何特征？ 问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。 （学生讨论，回答，纠正错误，形成共识） 3、复数的模（或绝对值） 向量的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作或。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于（即实数a的绝对值）。 == [巩固练习] （1）、已知复数=3+4i，=-1+5i，试比较它们模的大小。 （2）、若复数Z=3a-4ai(a0)，则其模长为 。 拓展与延伸： （3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？ （4）设Z∈C，满足23的点Z的集合是什么图形？（结果动画演示） 问题5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作图的方法得到吗？ （学生讨论，动手实践，回答；后用计算机作图并用平面几何理论证明） 4、复数加法、减法的几何意义 设向量，分别与复数a+bi，c+di对应，且，不共线，以，为两条邻边画平行四边形OZ，则对角线OZ所表示的向量就是复数（a+c）+(b+d)i对应的向量。（平行四边形法则） 根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。（三角形法则，过O作与其相等的向量） 设=a+bi，=c+di，则-=（a-c）+（b-d）i 故 表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。 三、数学应用 例1 已知复数z=在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切实数m，此复数z所对应的点不可能位于第四象限 （解不等式组；解不等式组无解） 表示复数的点所在象限的问题 数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 (几何问题) （代数问题） 数学思想：数形结合、转化思想 例2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？ 　　（1）|z-1-i|=|z+2+i| （2）|z+i|+|z-i|=4 （3）|z+2|-|z-2|=1 延伸：若将（2）中的等于改为小于呢？ （轨迹分别是直线；椭圆；双曲线） （备用题：） 已知，复数=3+4i，复数满足，求的最值。 （代数方法；几何方法） 四、回顾反思 1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。 2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。 3、重现复数加法、减法的几何意义的内容。 4、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。 五、作业（略） 数 形 a Z=a+bi o x y b Z(a,b) 1 2 3 3 2 -2 A C Z(a,b) B 复数 复平面 内的点 Z（a,b） 平面向量 y x O 0 x y Z Z1 Z2 相互转化