高中数学知识精要（新人教A）8.命题.docVIP

常用逻辑用语 1.命题定义： 2.含有逻辑连结词的命题真假的判断： “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。 如在下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶） 3.四种命题及其相互关系。 若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒： （1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）全称命题及特称命题的否定： 全称命题:,它的否定┓:┓ 特称命题:,它的否定┓:┓ （4）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定而命题的否定仅对命题的结论否定； （5）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。 （6）哪些命题宜用反证法？ 如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根。 4.充要条件 判断命题充要条件的三种方法： ①定义法：关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件； ②从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A=B，则A是B的充要条件 ③等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法； 如（1）给出下列命题：①实数是直线与平行的充要条件；②若是成立的充要条件；③已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）； （2）设命题p：；命题q:。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：） 5. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。 如已知关于的不等式 或 或 R R R 的解集为，则关于的不等式的解集为_______（答：） 6. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如上表： 如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，不等式无解；当时，） 一元二次不等式解法步骤： （1） 把二次项的系数变为正的（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） （2）解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 提醒：时，结合相应函数的图像直接写出结论. （3）比较一元二次方程的根、结合相应函数的图像及不等式的方向写出一元二次不等式的解集. 提醒：勿忘数形结合 7. 对于方程有实数解的问题。 首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 提醒：“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须a≠0；当a=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______（答：）； （2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______.（答：） 8.一元二次方程根的分布理论。 方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ （、、）。 根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．基本思维程序是： ①在某区间上只有一解，只考虑端点符号 ②在某区间上有两解，考虑对成轴、判别式、端点符号 ③端点单独考虑 提醒：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件②端点，验证端点。 如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________（答：（，1）） 9.二次方程、二次不等