高中数学知识精要（新人教A）9.函数.docVIP

函　数 1.映射: AB的概念.在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象(B中元素可以无原象) ，但原象不一定唯一（A中不同元素在B中可以有相同的象）. 如①设是集合到的映射，下列说法正确的是　 A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象　 C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）； ②点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________（答：（2，－1））； ③若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81）； 更一般地：若A中含有m个元素B中含有n个元素，从A到B能建立多少个映射？（） ④设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个（答：12）； ⑤设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}）. 2.函数: AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个. 如①已知函数，，那么集合中所含元素的个数有 个（答：0或1）； ②若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ （答：2） 3. 同一函数的概念.构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数. 如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 4.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；求分段函数的定义域,先选定所有分段的区间,然后取这些区间的并集所得到的集合就是分段函数的定义域,分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集. 如①设函数， 则使得的自变量的取值范围是__________（答：）； ②已知，则不等式的解集是________（答：） ③作出分段函数的图像 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即： = 作出图像如图. ④作出函数的函数图像 解： 步骤：（1）作出函数y=(2x(3的图象 （2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|(2x(3|的图象 ⑤作函数y=|x-2|(x＋1)的图像 分析　 解(1)当x≥2时，即x-2≥0时， 当x2时，即x-2＜0时， ∴ 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出； 顶点式：； 零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）. 如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 .（答：） （2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式. 如①已知求的解析式（答：）； ②若，则函数=_____（答：）； ③若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域. （3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组. 如①已知，求的解析式（答：）； ②已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= __（答：）. (4)分段函数解析式分段求解. 如函数在闭区间上的图象如右图所示，则求此函数的解析式. 解：． (5)实际应用问题 把长为的铁丝折成矩形，设矩形的一边长为，面积为，求矩形面积与一边长的函数关系式. 解：设矩形一边长为，则另一边长为， ∴（）． 说明：在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域. 6. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合. 有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合. 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等. 如①函数的定义域是____(答：)； ②若函数的定义域为R，则_______(答：)； ③函数的定义域是，，则函数的定义域是_ (答：)； （4）设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求