高中数学素材：三角形中的数列问题.docVIP

三角形中的数列问题（研究性学习）　　 一、范例研究：　　设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，　　范例1：已知a，b，c成等差数列　　（1）证明： ；　（2）证明： ；　　（3）求角B的范围.　　范例2：已知a，b，c成等比数列　　（1）证明：cos（A－C）＋cosB＋cos2B＝1；（2）证明： ；　（3）求角B的范围.　　1、探索：运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸.　　（1）第一次探索　　a，b，c成等差数列　　 　 　　 　　 　　　 　　　　 ③ 注：范例1（3）求角B的范围请同学们自己思考　　（2）第二次探索　　a，b，c成等比数列　 　 (第一阶段的转化与延伸)　　 （第二阶段转化与延伸的开始）　　 （第二阶段的转化与延伸）　　 　　 注：范例2的（2）、（3）小问请同学们练习　　2、小结　　小结1：在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则有　　（1）2b＝a＋c；　　（2） ；　　（3） .　　小结2：在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则有　　（1） ；（2） ；　（3） .　　二、联想　　联想是探索的先驱，人们在学习与研究中，总是在实践中获取真知，在认知中产生联想，进而由联想引发新的探索，由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差，他们的性质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到，上面已经认知的等差（或等比）数列条件下的三角等式两边，在等比（或等差）数列的条件下会是何种关系呢？　　循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系，我们可以断言：一般情况下，等差（或等比）数列条件下的三角“等式”两边，在等比（或等差）数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是，如此变更条件之后，上述等式两边是否具有确定的大小关系？上述不等式两边，是否具有相等关系？　　注意到等差数列与等比数列的密切联系，我们由等差（比）数列的命题联想等比（差）数列的情形.　　　　　三、再探索　　立足于前面对范例1、范例2的证明与讨论，对联想中所提出的问题进行探索.　　1、第三次探索：解决联想1提出的问题　　在△ABC中，若a，b，c成等比数列 　　 得：　　　　 ：　 由第一次探索过程改造而成　　 ：　　 由第二次探索过程改造而成　　2、第四次探索：解决联想2提出的问题　　在△ABC中，若a，b，c成等差数列 2b＝a＋c 　　（1）2b＝a＋c 　　即 　　（2） ：　　 由第二次探索过程改造而成　　（3）　　 可由命题1的证明改造而成　　四、再认知　　有比较才能鉴别（毛泽东语），有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结，我们对a，b，c成等差数列和a，b，c成等比数列的不同条件下的结论进行比较，从中品悟三角形三边成等差数列（或等比数列）的特性，以及在不同条件（a，b，c成等差数列或a，b，c成等比数列）下有关量之间的联系.　　1、比较、品悟　　在△ABC中，若a，b，c成　　　　　　　　　　　　 在△ABC中，若a，b，c成　　等差数列，则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等比数列，则有　　（1）2b＝a＋c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a+c 　　 　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（2） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　 　　2、点评：对于上面每一组对应的命题，等号或不等号的两边，在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等”（一般情况下）的个性，凸现着对偶范畴间既相互对立，又相互依存和相互联系的辩证关系.　　五、总结与自我训练　　1、总结　　（1）联想：　　亲缘联想：联想“已知”或“目标”的亲密一方；　对立联想：联想“已知”或“目标”的对立一方.　　（2）收获（思维、经验、认知等）　　2、练习：　　设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，　　1、若a，b，c依次成等比数列　　试求：（1）角B的取值范围；　　（2）设t＝sinB＋cosB，求t的取值范围；　（3）设 ，求y的取值范围.　　2、若a,b,c成等比数列，且 　　3、若A,B,C成等差数列　　（1） 的取值范围；　　（2）若最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围.　　参考答案：　　1、解：由题意得　　（1）由余弦定理得∴由得　　又 ④　由得 　　注意到 ，　　即所求B的取值范围为 .　　（2） 　 ， 　 　　 　　即所求t的取值范围为 .　　（3）设t＝sinB＋cosB，则 　且