高中数学知识精要（新人教A）23.推理与证明.docVIP

推理与证明 1.合情推理：归纳推理与类比推理 （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理.(简称归纳) 归纳推理的几个特点; ①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. ②归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. ③归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 归纳推理的一般步骤： ① 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ② 提出带有规律性的结论，即猜想； ③ 检验猜想。 （2）类比推理：在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.(简称类比) 类比推理的几个特点; ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. ②.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. ③类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能. 类比推理的一般步骤： ① 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ② 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ③ 检验猜想。 2.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理． （１）演绎推理是由一般到特殊的推理； （２）“三段论”是演绎推理的一般模式； ①大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　 ②小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　 ③结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． （3）三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 合情推理与演绎推理的区别: ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理. 3.证明 （1）综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的综合法. 特点:“由因导果” （2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的方法． 特点：执果索因 （3）反正法： 反证法证明一个命题常采用以下步骤： ①假定命题的结论不成立， ②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾， ③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的。 ④肯定原来命题的结论是正确的。 即“反设——归谬——结论”.