高中数学总复习第二轮专题七 7.4 简单多面体与球.docVIP

§7.4 简单多面体与球 考点核心整合 名 称 性 质 棱 柱 (1)侧面和经过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;(2)两底面平行,并且平行于底面的截面与底面是全等的多边形 直棱柱 侧棱垂直于底面,各侧面是矩形 正棱柱 底面是正多边形且是直棱柱 平行六面体 底面和侧面都是平行四边形,是中心对称图形 长方体 底面和侧面都是矩形,对角线相等 正方体 棱长相等,各面都是正方形 正多面体 各面是全等的正多边形,正多面体只有五种 棱 锥 (1)底面是多边形,各侧面是有一个公共顶点的三角形;(2)平行于底面的截面与底面相似,它们的面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比 正棱锥 (1)底面是正多边形,顶点在底面内的射影是底面的中心;(2)各侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形 球 (1)截面是圆,过球心的截面是大圆;(2)球心和不是大圆的截面的圆心的连线垂直于截面;(3)球面积S=4πR2,球体积V=R3 考题名师诠释 【例1】下面关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是__________________. 解析:①因侧面与底面所成的二面角都相等,则棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心. 又因底面是等边三角形,故内心即为底面正三角形的中心.所以①是真命题.②如图,棱锥V—ABC的棱AB=BC=AC=VB=VC=1,VA=.此棱锥符合②的题设条件,但不是正三棱锥. ③当棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的旁心时,符合③的题设条件,但不是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,侧面与底面所成的二面角都相等,则棱锥的顶点在底面的射影既是三角形的内心,又是三角形的外心,故三角形是正三角形. 所以④是真命题. 答案:①④ 【例2】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点. (Ⅰ)求证：PB⊥DM； (Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角. 方法一： (Ⅰ)因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB. 因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN. 因为DM平面ADMN，所以PB⊥DM. (Ⅱ)取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD， 所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等. 因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角. 在Rt△BGN中，sin∠BGN=. 故CD与平面ADMN所成的角是arcsin. 方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,设BC=1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，M(1，，1)，D(0，2，0). (Ⅰ)因为·=(2，0，-2)·(1，-，1)=0， 所以PB⊥DM. (Ⅱ)因为·=(2，0，-2)·(0，2，0)=0， 所以PB⊥AD， 又因为PB⊥DM， 所以PB⊥平面ADMN. 因此〈，〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角. 因为cos〈,〉==， 所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin. 【例3】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点.又BO=2，PO=，PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线PD与BD所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角P—AB—C的大小； (Ⅲ)设点M在棱PC上，且=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD. 解法一： ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.又PB⊥PD，BO=2，PO=， 由平面几何知识得：OD=1，PD=，PB=. (Ⅰ)过D作DE∥BC交于AB于E.连结PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角. ∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB. ∴BC=，AB=2，CD= 又AB∥DC， ∴四边形EBCD是平行四边形. ∴ED=BC=，BE=CD=. ∴E是AB的中点，且AE=. 又PA=PB=， ∴△PEA为直角三角形. ∴PE==2. 在△PED中，由余弦定理得 cos∠PDE=. 故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为. (Ⅱ)连结OE，由(Ⅰ)及三垂线定理知，∠