高中数学总复习第二轮 专题八排列、组合和概率（理）8.2 概率、随机变量与统计.docVIP

§8.2 概率、随机变量与统计 考点核心整合 一、概率 1.古典概率 一次试验中等可能出现n个结果组成一个集合I,其中各基本事件均为集合I的含一个元素的子集,包含m个结果的事件A为I的含有m个元素的子集A,事件A的概率P(A)==. P(A)=既是等可能性事件的概率定义,又是计算这种概率的基本方法. 2.互斥事件的概率 (1)互斥事件：不可能同时发生的事件叫互斥事件. (2)对立事件：两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生,这样的两个互斥事件称为对立事件. (3)当事件A、B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B). 对立事件的概率和为1,则P(A)+P()=1或P(A)=1-P(). (4)当事件A1,A2,…,An彼此互斥时,P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 3.相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,就说这两个事件为相互独立事件. (1)相互独立事件同时发生的概率计算,当A、B相互独立时,P(AB)=P(A)·P(B). 当A1,A2,…,An相互独立时,P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (2)n次独立重复试验中,某事件发生k次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k(其中p是一次试验中某事件发生的概率). 二、随机变量 1.离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量. (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (3)离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ=xi)=pi,则下表 ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 为随机变量的概率分布,简称ξ的分布列. 其中,①pi≥0(i=1,2,…); ②p1+p2+…=1. (4)二项分布 在n次独立重复试验中,某事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=pkq(n-k)(k=0,1,…,n,q=1-p).我们称这样的ξ服从参数n和p的二项分布,记为ξ—B(n,p). 2.离散型随机变量的期望与方差 (1)公式与性质 Eξ=xipi; Dξ=(xi-Eξ)2pi=p1-(Eξ)2; E(aξ+b)=aEξ+b; D(aξ+b)=a2Dξ. (2)若ξ—B(n,p),则Eξ=np,Dξ=np(1-p). 三、统计 1.抽样方法 三种常用抽样方法为:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 当总体中的个数较少时,常用简单随机抽样;当总体中的个数较多时,常用系统抽样;当总体是由差异明显的几部分组成时,常用分层抽样. 2.总体分布的估计 在研究总体时,常用样本的频率分布去估计总体分布.一般地,样本容量越大,这种估计就越精确. 3.正态分布 (1)密度函数:f(x)=,x∈R,参数μ、σ分别表示总体的平均数和标准差,记为N(μ,σ). (2)正态曲线具有以下性质:①曲线在x轴上方且关于x=μ对称;②曲线在x=μ时处于最高点,由这点向左、右两边无限延伸并逐渐降低;③当μ一定时,曲线形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”. (3)N(μ,σ)在区间(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3%,为小概率事件. (4)当μ=0,σ=1时,f(x)=称为标准正态总体的密度函数,这个正态分布叫标准正态分布,记作N(0,1). 4.线性回归 对n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), 其回归直线方程为=bx+a,其中 b=,a=-b,、分别是{xi}、{yi}的平均数. 考题名师诠释 【例1】从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为,每位男同学能通过测验的概率均为.试求: (1)选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率; (2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 解：(1)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为 1-=; (2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为 ××=. 评述：本小题主要考查组合、概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率,以及运用概率知识解决实际问题的能力. 链接·提示 求概率的方法有直接法和间接法. 直接法,即运用互斥事件的概率加法公式解题,首先要分清事件是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏;若直接求P(A)比较麻烦,利用