高中总复习第一轮数学 (新人教A)第五章 5.2 向量的数量积.docVIP

5.2 向量的数量积 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.数量积的概念 (1)向量的夹角:如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ. (3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积. 2.数量积的性质：设e是单位向量,〈a,e〉=θ. (1)e·a=a·e=|a|cosθ. (2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=. (3)a⊥ba·b=0. (4)cosθ=. (5)|a·b|≤|a||b|. 3.运算律：(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c. 4.向量数量积的坐标运算： 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a·b=x1x2+y1y2;(2)|a|=; (3)cos〈a,b〉=;(4)a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0. 二、点击双基 1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析：(a+2b)·(a-3b)=|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,∴|a|2-2|a|-24=0.∴(|a|-6)·(|a|+4)=0.∴|a|=6. 答案：C 2. (理)已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则a与b的夹角大小为( ) A. B. C. D. 解析：c⊥a,则c·a=0,即(a+b)·a=0,即a2=-a·b.∴a·b=-a2=-1,即|a||b|cosθ=-1.∴cosθ=-=-.∴θ=. 答案：D (文)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=1,(a-b)·b=0,那么向量a、b的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：(a-b)·b=0,即a·b=b2. ∵|b|=1,∴a·b=1,即|b||a|cosα=1. ∴cosα==.∴α=60°.故选C. 答案：C 3. (理)已知点A(1，-2)，若向量与a=(2，3)同向，||=2，则点B的坐标为_____________________. 解析：设A点坐标为(xA,yA),B点坐标为(xB,yB). ∵与a同向，∴可设=λa=(2λ,3λ)(λ＞0). ∴||==2. ∴λ=2. 则=(xB-xA,yB-yA)=(4,6), ∴ ∵∴ ∴B点坐标为(5，4). 答案：(5，4) (文)已知点A(-1，-5)和向量a=(2，3)，若=3a，则点B的坐标为_________________. 解析：设B点坐标为(xB,yB), 则=(xB+1,yB+5)=3a=(6,9), ∴∴.∴B(5,4). 答案：(5，4) 4.已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角为,以a、b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为___________________________. 解析：画图可知，较短的一条对角线的长度为=2. 答案：2 诱思·实例点拨 【例1】 判断下列各命题正确与否： (1)若a≠0，a·b=a·c，则b=c； (2)若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立； (3)(a·b)c=a(b·c)对任意向量a、b、c都成立； (4)对任一向量a，有a2=|a|2. 剖析：(1)(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a2转化成a·a=|a|2可判断. 解：(1)a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b，a与c的夹角). ∵|a|≠0, ∴|b|cosα=|c|cosβ. ∵cosα与cosβ不一定相等， ∴|b|与|c|不一定相等.