高中总复习第一轮数学 (新人教A)第二章 2.4 函数的奇偶性.docVIP

2.4 函数的奇偶性 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,则称f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1）具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 二、点击双基 1．下面四个结论中，正确命题的个数是( ） ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕. 答案:A 2．已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数. 答案:A 3． 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示. 显然f(x)0的解集为{x|-2x2},故选D. 答案：D 4．已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 006)的值为( ) A.2 B.0 C.-2 D.±2 解析:由题意得g(-x)=f(-x-1)=f［-(x+1)］,g(x+2)=f(x+1), ∴g(x+2)=g(-x)=-g(x). ∴g(x+4)=-g(x+2)=g(x). ∴g(x)为周期函数且T=4. f(2 006)=g(2 007)=g(3+2 004)=g(3)=f(2)=2. 故选A. 答案:A 5．已知f(x)=ax2+bx+3A+b是偶函数，且其定义域为［a-1，2a］，则a=____，b=______. 解析:定义域应关于原点对称， 故有a-1=-2a，得A=. 又对于所给解析式，要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0. 答案: 0 诱思·实例点拨 【例1】f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:周期为3,且f(2)=0,是R上的奇函数, ∴f(2)=f(-1)=-f(1),f(2)=-f(-2), f(-2)=f(1)=f(4),f(2)=f(5). ∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0. 答案:D 【例2】 判断下列函数的奇偶性: (1）f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·; (3)f(x)=; (4)f(x)= 剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断. 解:(1)函数的定义域x∈(-∞,+∞),对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由≥0,得-1≤x1,其定义域不对称于原点， 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号，根据定义判断. 由 得 故f(x)的定义域为［-1，0］∪(0，1)，关于原点对称，且有x+20.